谈谈RMQ算法

Posted 2020-08-31

没用的话：好像好久没更博了，无聊就讲讲算法吧（主要找不到水题）。

感觉针对初学者，老师教这个算法时没怎么懂，最近（大概1、2个月前吧）老师又教了lca（最近公共祖先，额，可以百度，我就不讲了，可能以后会再写一篇博客关于这个）讲到lca转RMQ才又回来认真复（xue）习（xi）。大概搞懂了，本质是dp。

认识RMQ：

      要学习RMQ，首先要知道RMQ求什么吧？

      RMQ简单来说就是求区间的最大值（最小值）。

      什么？没懂！

      举个栗子：

                 1  -2  9  10  15  38  -9

      这里有 7 个数（随便输的），RMQ就是用来查询这些数中的最大值（最小值），但是是区间的。比如查询  [1,3]  这个区间的最大值 就是  9 这个值 .   

      这样讲应该懂了吧。

暴力解法：

      其实这样的题目可以直接暴力对吧，一重循环枚举区间就好了。

      但是如果有多个询问效率显然就低了很多，因为可能会重复计算。

      所以会有人想到dp吧。

RMQ解法：

     而RMQ算法就是一个神奇dp。

     RMQ感觉很少用到，但这个dp思想却能有很大启发！

     进入正题——RMQ（以下以求最大值为例）

     F[i,j]表示 从 i 开始 到i+2^j（可能不是很清楚，是二的 j 次方）这个区间中的最大值

     什么？为什么要用 2^j 这么奇怪的东西？ 这就是RMQ的神奇

     然后就是初始值了 显然 F[i,0]=a[i](原始数组) 对吧 因为 2⁰ 等于1 一个数的区间最大值肯定就是这个数 你总不会说 [2,2] 这个区间的最大值在[3,3]这个区间吧?

    辣么状态转移方程呢？

    F[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+2^j-1,j-1])

    这么啪给你肯定是不懂的

    自己画了张图：

  

 

     假如要求绿色这段区间的最大值，实际上主要这段蓝色这段区间的最大值和红色这段区间的最大值就可以了对吧，

     绿色这段区间的最大值就会等于max（蓝色最大值，红色最大值）

     因为dp是递推而来的，所以蓝色最大值和红色最大值是已知的，

     所以方程就是 F[i,j](这里指[1,4]这个区间，所以i=1,j=2)=max（f[i,j-1](指[1,2]这个区间，所以i=1,j=1)  ，f[i+2^j-1,j-1](指[3,4]这个区间，所以i=1+2¹=3   j=1)）

     可能不好理解，j可以抽象为[1,4] 4个数， j-1 就为2个数 ，已知 2 个连续的 2个数的区间 那么就能求出1个 4个数的区间

     大概代码：

for i=1 --> n 
f[i,0]=a[i]; //初始化
for j=1 --> log2(n)
   for i=1  --> n
    f[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+(1 << (j-1))]);// RMQ状态转移方程

如果你问为什么j放外循环，那就是对RMQ还不够理解。

如果j放了内循环，那么求解顺序就变成了 f[1..n,1]...f[1..n,log(n)] 这样就不会先求出 2 个连续的 2个数的区间的最大值，也就不能dp了。

 

 

大概就讲这么多，希望有帮助。

RMQ应用还是不多，也就这是lca ，建议学的是思路.

预留 lca 网址位：（有时间写篇lca）