[Lucas定理]学习笔记

Posted 2020-08-31

这种神奇的东西...............

---

参考资料：http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html

---

 

Lucas定理

适用于n很大p较小的时候

$ C_n^m\\%p \\ p \\ is \\ prime$  

$ n=n_k*p^k+n_{k-1}*p^{k-1}+...+n_2*p^2+n_1*p+n_0 $

$ m=m_k*p^k+m_{k-1}*p^{k-1}+...+m_2*p^2+m_1*p+m_0 $

$ C_n^m=\\prod\\limits_{i=0}^k C_{n_i}^{m_i} $

证明见参考资料(我不会告诉你我没看的)

实现：这个形式很像多项式啊变量为p，n和m迭代/=p然后算C(n%p,m%p)就行了

ll Pow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%P)
        if(b&1) ans=ans*a%P;
    return ans;
}
ll Inv(ll a){return Pow(a,P-2);}
ll C(ll n,ll m){
    if(n<m) return 0;
    ll x=1,y=1;
    for(ll i=n-m+1;i<=n;i++) x=x*i%P;
    for(ll i=1;i<=m;i++) y=y*i%P;
    return x*Inv(y)%P;
}
ll Lucas(ll n,ll m){
    if(n<m) return 0;
    ll re=1;
    for(;m;n/=P,m/=P) re=re*C(n%P,m%P)%P;
    return re;
}

 

$ P \\ is \\ not \\ prime $

看参考资料吧

$P$进行质因子分解，然后对于每个质因子$p_i^{e_i}$都得到一个同余方程 

$x\\equiv a_i\\pmod {p_i^{e_i}}\\\\ $

用中国剩余定理合并就行了

但是$ C_n^m\\%p_i^{e_i} $怎么求？

只要计算阶乘就行了，我们分成三部分：

比如：

 

$ n!=1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10∗11∗12∗13∗14∗15∗16∗17∗18∗19 $
$ =(1∗2∗4∗5∗7∗8∗10∗11∗13∗14∗16∗17∗19)∗3^6∗(1∗2∗3∗4∗5∗6) $

假设当前质因子为$p$，$p_i^{e_i}=pr$

第一部分 $p$的倍数，有$\\frac{n}{p}$个，提出$p$后形成了新的阶乘，递归解决

第二部分 提出的$p$ 只要最后计算$n!$中$p$出现次数然后 上-下 就行了

第三部分 不是$p$的倍数的部分；可以按$pr$分块，一共$\\frac{n}{pr}$块，结果都是相同的；最后一块暴力计算即可

ll Pow(ll a,ll b,ll P){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%P)
        if(b&1) ans=ans*a%P;
    return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
ll Inv(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    exgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}
ll Fac(ll n,ll p,ll pr){
    if(n==0) return 1;
    ll re=1;
    for(ll i=2;i<=pr;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
    re=Pow(re,n/pr,pr);
    ll r=n%pr;
    for(int i=2;i<=r;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
    return re*Fac(n/p,p,pr)%pr;
}
ll C(ll n,ll m,ll p,ll pr){
    if(n<m) return 0;
    ll x=Fac(n,p,pr),y=Fac(m,p,pr),z=Fac(n-m,p,pr);
    ll c=0;
    for(ll i=n;i;i/=p) c+=i/p;
    for(ll i=m;i;i/=p) c-=i/p;
    for(ll i=n-m;i;i/=p) c-=i/p;
    ll a=x*Inv(y,pr)%pr*Inv(z,pr)%pr*Pow(p,c,pr)%pr;
    return a*(MOD/pr)%MOD*Inv(MOD/pr,pr)%MOD;
}
ll Lucas(ll n,ll m){
    ll x=MOD,re=0;
    for(ll i=2;i<=MOD;i++) if(x%i==0){
        ll pr=1;
        while(x%i==0) x/=i,pr*=i;
        re=(re+C(n,m,i,pr))%MOD;
    }
    return re;
}