BZOJ3241 [Noi2013]书法家/UOJ125

Posted 2020-08-31 ljh2000

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本文作者：ljh2000
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Description

小E同学非常喜欢书法，他听说NOI2013已经开始了，想题一幅“NOI”的字送给大家。

小E有一张非常神奇的纸，纸可以用一个n 行m 列的二维方格矩阵来表示，为了描述方便，我们定义矩阵左下角方格坐标为(1,1) ，右上角方格坐标为(m,n) 。矩阵的每个方格有一个整数的幸运值。在格子上面写字可以增加大家的幸运度，幸运度的大小恰好是所有被笔写到的方格的幸运值之和。现在你要在上面写上 ‘N’，‘O’，‘I’三个字母。

下面给出3个书法字的定义：

  1.‘N’由若干（≥3）个边平行于坐标轴的矩形组成，设有K个矩形组成（标号1~K），第i个矩形的左下角方格坐标设为(Li ,Bi) ，右上角坐标设为(Ri ,Ti) ，要求满足：
a)Li<=Ri,Bi<=Ti
b)对任意1<i<=K，有Li=R(i-1)+1
c)对任意3<=i<K，有B(i-1)-1<=Ti<=T(i-1),Bi<=B(i-1);" 
d)B2>B1,T2=T1,B(K-1)=B(K),T(k-1)<T(K)


  2.‘O’由一个大矩形A，挖去一个小矩形B得到，这两个矩形的边都平行于坐标轴。设大矩形左下角的方格坐标为(u,v)，长为W宽为H，则小矩形B满足左下角方格坐标为(u+1,v+1) ，长W-2 ，宽H-2。要求满足：
a)W>=3,H>=3
b)u>R(K)+1

  3.‘I’为3个边平行于坐标轴的从下到上的实心矩形组成，从下到上依次标号为1,2,3，第i 个矩形的左下角格子坐标设为(Pi , Qi )，右上角格子坐标设为(Gi , Hi )，要求满足：
a)Pi<=Gi,Qi<=Hi
b)P1=P3>u+W,G1=G3
c)Q1=H1=Q2-1,H2+1=Q3=H3
d)P1<P2<=G2<G1

下图是一个‘N’,‘O’,‘I’的例子

 

另外，所有画的图形均不允许超过纸张的边界。现在小E想要知道,他能画出的最大幸运度是多少。

Input

第一行包含两个正整数n和m，分别表示矩阵的行数和列数。
接下来n行，每行有m个整数，第i+1行的第j个数表示格子(j,n-i+1)的幸运值。

Output

输出一个整数T，表示小E能够获得的最大幸运度

Sample Input

【样例输入1】
3 13
1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1
1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1




【样例输入2】
3 13
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Sample Output

【样例输出1】
24
【样例输出2】
-20

HINT

 

 

正解：DP

解题报告：

　　复述一遍要求：

　　“N”由三个部分组成：最左边是一个矩形，最右边也是一个矩形，中间部分是若干个矩形，要求横坐标必须连续，同时左下、右上纵坐标不升，并且第一个矩形与最左边的上端齐平，最后一个矩形与最右边的下端齐平。

　　“O”必须是一个矩形挖掉了中间，得到的一个宽度只能为1的边框。

　　“I”只能是上下两个高为1的全等矩形中间夹一个任意形状的矩形（左右边界必须被严格限制在范围内）。

　　三个字母中间需要至少隔开一列。

 

　　别的转移都很好做，就是基础DP。唯独N的中间的转移需要仔细考虑。

　　分为从1转来和从2转来两种，首先从1转来的话，只需要从n for到1，固定上界的同时保存后缀最大值，更新即可。

　　从2转来的话，预处理一下前缀最大值,即下界固定为j，上界为1到i中的最大值。

　　更新的时候，让j从i for到n，直接更新即可。

　　最后补充一点就是，只能在9处更新答案，空格可以用两个变量存着。

　　细节很多，需要仔细调试...

 

//It is made by ljh2000
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <complex>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 152;
const int MAXM = 520;
const int inf = (1<<30)-1;
int n,m,xing[MAXN][MAXM],dp[MAXN][MAXN],ans;
int f[2][12][MAXN][MAXN],s[MAXN],blank[MAXM][2];
//f[0、1][type][i][j]

inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<\'0\'||c>\'9\') && c!=\'-\') c=getchar();
    if(c==\'-\') q=1,c=getchar(); while (c>=\'0\'&&c<=\'9\') w=w*10+c-\'0\',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline void upd(int &x,int y){ if(x<y) x=y; }

inline void work(){
	n=getint(); m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) xing[i][j]=getint();
	int tag=1,last,now; ans=-inf; for(int i=0;i<=m;i++) blank[i][0]=blank[i][1]=-inf;
	memset(f,-0x3f,sizeof(f));
	for(int lie=1;lie<=m;lie++) {//枚举列
		last=tag; tag^=1; blank[lie][0]=blank[lie-1][0]; blank[lie][1]=blank[lie-1][1];
		memset(f[tag],-0x3f,sizeof(f[tag]));
		s[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+xing[i][lie];//前缀和
		//1:the left of N
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i;j<=n;j++) {
				upd(f[tag][1][i][j],s[j]-s[i-1]);
				upd(f[tag][1][i][j],f[last][1][i][j]+s[j]-s[i-1]);
			}

		//2:the middle of N
		memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
		for(int j=1;j<=n;j++) for(int i=1;i<=j;i++) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],f[last][2][i][j]);//前缀最大值(下界为j),即下界固定为j，上界为1到i中的最大值
		for(int i=1;i<=n;i++) {//这一次上界i，下界为j
			now=dp[i-1][i-1];//上一次的下界取值最小要为i-1
			//和2相接
			for(int j=i;j<=n;j++){//枚举下界
				upd(now,dp[i][j]);
				upd(f[tag][2][i][j],now);
			}
			//和1相接
			now=-inf;//后缀最大值
			for(int j=n;j>=i;j--) {
				//now保存的是上界为i，下界为j+1到n的矩阵中的1的最大值
				upd(now,f[last][1][i][j+1]);//1和2相接的地方，必须要间隔1。一路往上取max即可
				upd(f[tag][2][i][j],now);
			}
			for(int j=i;j<=n;j++) f[tag][2][i][j]+=s[j]-s[i-1];
		}

		//3:the right of N
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) dp[i][j]=f[last][2][i][j];
		for(int j=1;j<=n;j++) for(int i=j;i>=1;i--) upd(dp[i-1][j],dp[i][j]);//后缀max
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i;j<=n;j++) {
				upd(f[tag][3][i][j],dp[i+1][j]+s[j]-s[i-1]);
				upd(f[tag][3][i][j],f[last][3][i][j]+s[j]-s[i-1]);
			}

		//N和O中间的空行
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) upd(blank[lie][0],f[last][3][i][j]);

		//4:the left of O
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+2;j<=n;j++)
				f[tag][4][i][j]=blank[lie-1][0]+s[j]-s[i-1];

		//5:the middle of O
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+2;j<=n;j++)
				f[tag][5][i][j]=max(f[last][5][i][j],f[last][4][i][j])+xing[i][lie]+xing[j][lie];
		
		//6:the right of O
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+2;j<=n;j++)
				f[tag][6][i][j]=f[last][5][i][j]+s[j]-s[i-1];

		//O和I中间的空行
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) upd(blank[lie][1],f[last][6][i][j]);

		//7:the left of I
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+2;j<=n;j++)
				f[tag][7][i][j]=max(f[last][7][i][j],blank[lie-1][1])+xing[i][lie]+xing[j][lie];

		//8:the middle of I
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+2;j<=n;j++)
				f[tag][8][i][j]=max(f[last][8][i][j],f[last][7][i][j])+s[j]-s[i-1];

		//9:the right of I
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+2;j<=n;j++)
				f[tag][9][i][j]=max(f[last][8][i][j],f[last][9][i][j])+xing[i][lie]+xing[j][lie],ans=max(ans,f[tag][9][i][j]);
	}
	printf("%d",ans);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}