数学基础——基本计数方法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学基础——基本计数方法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
计数方法最基础的两个原理是:加法原理和乘法原理。
容斥原理:
假设一个班里有10个学生喜欢数学,15个学生喜欢语文,21个学生喜欢编程。那么班级总人数:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
一般的,任意多个集合,集合内的元素个数为奇数,前面的符号为正。
问题1:排列问题
n个不同的数,选k个排成1排,有多少种排法。
答案计做p(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1)) = n!/(n-k)!
问题2:组合问题
有n个不同的数,选出k个(顺序无关),有多少种选法。
答案计做C(n,k),则有P(n,k) = C(n,k)*P(k,k);
即:C(n,k) = n!/k!*(n-k)!
性质:
1,C(n,0) = C(n,n) = 1;
2,C(n,k) = C(n,n-k);
问题3:二项式定理
求(a+b)n的各项系数。
由定理可知 C(n,k)an-kbk (k由0→n)
性质4:
C(n,k+1) = C(n,k)*(n-k)/(k+1)
由此可以计算组合数在O(n)的时间内。
或者根据第一个数要不要,也可以在O(n)递推:http://www.cnblogs.com/TreeDream/p/5346542.html
1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 5 const int maxn = 100; 6 7 int c[maxn][maxn]; 8 9 int main() 10 { 11 for(int k=1;k<=10;k++) { 12 c[k][0] = 1; 13 for(int i=1;i<=k;i++) 14 c[k][i] = c[k][i-1]*(k+1-i)/i; 15 } 16 17 for(int i=0;i<=9;i++) 18 printf("%d\\n",c[9][i]); 19 20 return 0; 21 }
问题4:有重复元素的全排列
有k个元素,第i个元素有ni个,全排列的方案数:
可以先将所有元素标记,答案计做 x
那么: n! = n1!*n2!*...nk! *x
问题5:可重复选择的组合
有n个不同元素,每个元素可以选多次,一共选k个。有多少种选法。
例:n = 3,k=2,(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3) (3,3)
第i个元素选xi个,则:
X1 + X2 +... + Xn = k
令yi = xi+1;
就有Y1 + Y2 +... + Yn = k + n;
就是k+n个 “1” ,从k+n-1根分割线中挑出n-1个→C(n+k-1,n-1)
问题6:单色三角形
n个点没有三点共线的情况,只有红色和黑色的线连接两点,求单色三角形的个数。
反着来:求异色三角形。
每个点,他有ai 条红边,n-1-ai条黑线。那么这就是一个异色三角形,这个点的异色三角形ai(n-1-ai)
总共就是1/2*∑ai(n-1-ai)
以上是关于数学基础——基本计数方法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章