斐波那契查找法

Posted 2020-06-17

1. void Fibonacci(int *f)  
2. {  
3.     f[0] = 1;  
4.     f[1] = 1;  
5.   
6.     for (int i = 2; i < MAXSIZE; i++)  
7.     {  
8.         f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];  
9.     }  
10. }  
11.   
12. int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)  
13. {  
14.     int low, high, mid;  
15.   
16.     low = 1;  
17.     high = n - 1;  
18.   
19.     int k = 0;  
20.     int F[MAXSIZE];  
21.     Fibonacci(F);  
22.   
23.     //问题一：这个查找n在斐波那契数列中的位置，为什么是F[k] - 1,而不是F[k]？  
24.     while ( n > F[k] - 1 )  
25.     {  
26.         k++;  
27.     }  
28.   
29.            //问题二：  
30.     //这个地方，我发现被查找的数组a的长度不好计算，比如，我现在要查找31在数组a中的位置  
31.     //那么，由于n = 13， 位于斐波那契数列中的第7个数（21）和第8个数（34）之间，所以k的  
32.     //值为7，F[k] - 1就等于20，那么数组a的长度就需要是a[20]。换个数又变了，我不知道这个  
33.     //应该怎么控制？  
34.     for (int i = n; i < F[k] - 1; i++)  
35.     {  
36.         a[i] = a[high];  
37.     }  
38.   
39.         //问题三：  
40.     //还有这个判断，当键值小于a[mid]时，就在[low, F[k - 1] - 1]范围内查找  
41.     //当键值大于a[mid]时，就在[F[k - 2] - 1]范围内查找，这个依据是什么？  
42.     while(low <= high)  
43.     {  
44.         mid = low + F[k - 1] - 1;  
45.   
46.         if ( key < a[mid] )  
47.         {  
48.             high = mid - 1;  
49.             k = k - 1;  
50.         }  
51.         else if ( key > a[mid] )  
52.         {  
53.             low = mid + 1;  
54.             k = k - 2;  
55.         }  
56.         else  
57.         {  
58.             if ( mid <= high )  
59.             {  
60.                 return mid;  
61.             }  
62.             else  
63.                 return n;  
64.         }  
65.     }  
66.     return -1;  
67. }   
68.   
69.   
70. 解析：  
71. 首 先要明确：如果一个有序表的元素个数为n,并且n正好是（某个斐波那契数 - 1），即n=F[k]-1时，才能用斐波那契查找法。 如果有序表的元素个 n不等于（某个斐波那契数 - 1），即n≠F[k]-1，这时必须要将有序表的元素扩展到大于n的那个斐波那契数 - 1才行，这段代码：  
72. for (int i = n; i < F[k] - 1; i++)  
73.   {  
74.   a[i] = a[high];  
75.   }  
76. 便是这个作用。  
77.   
78. 下面回答  
79. 第一个问题：看完上面所述应该知道①是为什么了吧。 查找n在斐波那契数列中的位置，为什么是F[k] - 1,而不是F[k]，是因为能否用斐波那契查找法是由F[k]-1决定的，而不是F[k]。如果暂时不理解，继续看下面。  
80.   
81. 第 二 个问题：a的长度其实很好估算，比如你定义了有10个元素的有序数组a[20]，n=10，那么n就位于8和13，即F[6]和F[7]之间，所 以 k=7，此时数组a的元素个数要被扩充，为：F[7] - 1 = 12个； 再如你定义了一个b[20]，且b有12个元素，即n=12,那么很好 办了，n = F[7]-1 = 12, 用不着扩充了； 又或者n=8或9或11，则它一定会被扩充到12； 再如你举的例子，n=13，最后得出n位 于13和21，即F[7]和F[8]之间，此时k=8，那么F[8]-1 = 20,数组a就要有20个元素了。 所以，n = x（13<=x& lt;=20）时，最后都要被扩充到20；类推，如果n=25呢，则数组a的元素个数肯定要被扩充到 34 - 1 = 33个（25位于21和34，即 F[8]和F[9]之间，此时k=9，F[9]-1 = 33），所以，n = x（21<=x<=33）时，最后都要被扩充到33。也就是 说，最后数组的元素个数一定是（某个斐波那契数 - 1），这就是一开始说的n与F[k]-1的关系。  
82.   
83. 第 三个问题:对于二分查找，分割是从mid= (low+high)/2开始；而对于斐波那契查找，分割是从mid = low + F[k-1] - 1 开始的； 通过上面知道了，数组a现在的元素个数为F[k]-1个，即数组长为F[k]-1，mid把数组分成了左右两部分， 左边的长度为：F[k- 1] - 1， 那么右边的长度就为（数组长-左边的长度-1）， 即：（F[k]-1） - （F[k-1] - 1） = F[k] - F[k- 1] - 1 = F[k-2] - 1。    
84. 斐波那契查找的核心是：  
85.   1）当key=a[mid]时，查找成功；  
86.   2）当key<a[mid]时，新的查找范围是第low个到第mid-1个，此时范围个数为F[k-1] - 1个，即数组左边的长度，所以要在[low, F[k - 1] - 1]范围内查找；  
87.   3）当key>a[mid]时，新的查找范围是第mid+1个到第high个，此时范围个数为F[k-2] - 1个，即数组右边的长度，所以要在[F[k - 2] - 1]范围内查找。