欧拉函数

Posted 2020-08-29

1简介

φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互

素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

2证明

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设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，

若

n= ∏p^(α（下标p）)

p|n

则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)

p|n p|n

例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24

与欧拉定理、费马小定理的关系

对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有

a^φ(m)≡1(mod m)

即欧拉定理

当m是质数p时，此式则为：

a^(p-1)≡1(mod m)

即费马小定理。

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

usingnamespacestd;

#defineN10000000

intmain(intargc,constchar*argv[])

{

int*phi;

char*prime;

prime=(char*)malloc((N+1)*sizeof(char));

prime[0]=prime[1]=0;

for(inti=2;i<=N;i++)

prime[i]=1;

for(inti=2;i*i<=N;i++)

if(prime[i])

for(intj=i*i;j<=N;j+=i)

prime[j]=0;

//这段求出了N内的所有素数

phi=(int*)malloc((N+1)*sizeof(int));

for(inti=1;i<=N;i++)

phi[i]=i;

for(inti=2;i<=N;i++)

if(prime[i])

for(intj=i;j<=N;j+=i)

phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//此处注意先/i再*（i-1)，否则范围较大时会溢出

return0;

}