欧几里得算法（辗转相除法）

Posted 2020-08-29

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

 

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

 

第一种证明：

      a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

 

第二种证明：

    要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
                                                                则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，
                                                                 所以n ，m-qn一定互质）
    则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
    得证。

 

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }

 

 

代码可优化如下：

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
4 }

 

 

当然你也可以用迭代形式：

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5     　　int r = b;
 6     　　b = a % b;
 7     　　a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }