欧几里得算法(辗转相除法)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了欧几里得算法(辗转相除法)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。

 

基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

 

第一种证明:

      a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

  假设d是a,b的一个公约数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公约数

  假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公约数

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

 

第二种证明:

    要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b
    下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    设  c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
    则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,且d>1
                                                                则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
                                                                 所以n ,m-qn一定互质)
    则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得证。

 

算法的实现:

最简单的方法就是应用递归算法,代码如下:

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }

 

 

代码可优化如下:

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
4 }

 

 

当然你也可以用迭代形式:

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5       int r = b;
 6       b = a % b;
 7       a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }

 

以上是关于欧几里得算法(辗转相除法)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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