虔诚的墓主人（bzoj 1227）

Posted 2020-08-28 Cola

Description

小W 是一片新造公墓的管理人。公墓可以看成一块N×M 的矩形，矩形的每个格点，要么种着一棵常青树，要么是一块还没有归属的墓地。当地的居民都是非常虔诚的基督徒，他们愿意提前为自己找一块合适墓地。为了体现自己对主的真诚，他们希望自己的墓地拥有着较高的虔诚度。一块墓地的虔诚度是指以这块墓地为中心的十字架的数目。一个十字架可以看成中间是墓地，墓地的正上、正下、正左、正右都有恰好k 棵常青树。小W 希望知道他所管理的这片公墓中所有墓地的虔诚度总和是多少

Input

第一行包含两个用空格分隔的正整数N 和M，表示公墓的宽和长，因此这个矩形公墓共有(N+1) ×(M+1)个格点，左下角的坐标为(0, 0)，右上角的坐标为(N, M)。第二行包含一个正整数W，表示公墓中常青树的个数。第三行起共W 行，每行包含两个用空格分隔的非负整数xi和yi，表示一棵常青树的坐标。输入保证没有两棵常青树拥有相同的坐标。最后一行包含一个正整数k，意义如题目所示。

Output

包含一个非负整数，表示这片公墓中所有墓地的虔诚度总和。为了方便起见，答案对2,147,483,648 取模。

Sample Input

5 6
13
0 2
0 3
1 2
1 3
2 0
2 1
2 4
2 5
2 6
3 2
3 3
4 3
5 2
2

Sample Output

6

HINT

 

图中，以墓地(2, 2)和(2, 3)为中心的十字架各有3个，即它们的虔诚度均为3。其他墓地的虔诚度为0。

所有数据满足1 ≤ N, M ≤ 1,000,000,000，0 ≤ xi ≤ N，0 ≤ yi ≤ M，1 ≤ W ≤ 100,000， 1 ≤ k ≤ 10。存在50%的数据，满足1 ≤ k ≤ 2。存在25%的数据，满足1 ≤ W ≤ 10000。

注意：”恰好有k颗树“，这里的恰好不是有且只有，而是从>=k的树中恰好选k棵

/*
  首先将横纵坐标离散化。
  我们可以发现，对于一个墓地，它对答案的贡献是C(l,k)*C(r,k)*C(u,k)*C(d,k)，如果统计每个墓地的话，是O(n*m)的。
  我们考虑能否将两棵树之间的一大坨墓地的贡献一块求出来，即C(l,k)*C(r,k)*∑C(u[i],k)*C(d[i],k)，然后用树状数组优化。
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define mod 2147483647
using namespace std;
struct node{
    int x,y,tx,l,r,u,d;//tx是离散化之后的x坐标
    bool is;//与同一行的下一个点是否存在空隙
};node a[N];
int c[N][15],dis[N],tree[N],hash[N],last[N],n,m,w,K;
bool cmp(node a,node b){
    if(a.y==b.y) return a.x<b.x;
    return a.y<b.y;
}
void init(){
    for(int i=0;i<N;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=min(i,10);j++)
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
    }
}
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void add(int x,int val){
    while(x<N){
        tree[x]+=val;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int query(int x){
    int ret=0;
    while(x){
        ret+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
int main(){
    init();
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&w);
    for(int i=1;i<=w;i++){
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
        dis[i]=a[i].x;
    }
    scanf("%d",&K);
    sort(dis+1,dis+w+1);
    int len=unique(dis+1,dis+w+1)-dis-1;
    sort(a+1,a+w+1,cmp);//y坐标排序
    for(int i=1,y=-1,k=0;i<=w;i++){
        if(a[i].y!=y) y=a[i].y,k=0;//新的一行
        a[i].l=k;k++;
        a[i].tx=lower_bound(dis+1,dis+len+1,a[i].x)-dis;
        a[i].d=hash[a[i].tx];
        hash[a[i].tx]++;//hash表示a[i].tx这一列已经累计了多少点了
        if(a[last[a[i].tx]].y+1==a[i].y)
            a[last[a[i].tx]].is=1;
        last[a[i].tx]=i;
    }
    for(int i=w,y=-1,k=0;i;i--){
        if(a[i].y!=y) y=a[i].y,k=0;
        a[i].r=k;k++;
        a[i].u=hash[a[i].tx]-a[i].d-1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=w;i++){
        if(!a[i].is)//a[i].tx与a[i+1].tx之间存在空隙
            add(a[i].tx,c[a[i].u][K]*c[a[i].d+1][K]-(query(a[i].tx)-query(a[i].tx-1)));//清空原来的值，并加上新的值 
        if(a[i].y==a[i+1].y)
            ans+=c[a[i].l+1][K]*c[a[i+1].r+1][K]*(query(a[i+1].tx-1)-query(a[i].tx));//累加两点间的值 
    }
    printf("%d",ans&mod);
    return 0;
}