散列表

Posted 2020-08-26 莫水千流

散列表（hash table)
在直接寻址的方式下，具有关键字k的元素被放到槽k中。在散列方式下，该元素放在槽h(k)中；
即利用散列函数hash funciton h ， 由关键字k计算出槽的位置。这里，函数h将关键字的全域U映射到
散列表hash table T[0....m-1]的槽位上
h:U -> {0,1,....,m-1}
这里存在一个问题，两个关键字可能映射到同一槽中。我们称这种情形为冲突。
散列的含义是随机混杂和拼凑。
解决冲突的办法，链接法，开发寻址法
通过链接伐解决冲突

 

把散列到同一槽中的所有元素都放在一个链表中。
CHAINED-HASH-INSERT(T，x)
insert x at the head of list T
CHAINED-HASH-SEAARCH(T,x)
CHAINED-HASH-DELEETE(T,x)

 
期望查找时间@（1 + a） a = n/m  n个元素，m个槽位的散列表T

散列函数 启发式，随机技术
1）将关键字转化为自然数
多数散列函数都假定关键字的全域为自然是N={0,1,2....}
字符串转化为基数符号表的整数。
例如 P=112, t=116, 以128为基数，pt=(112*128) + 116 = 14452
2） 除法散列法
取k除以m的余数，将关键字k映射到m个槽中的某一个上，即为散列函数
h(k) = k mod m
除法散列法时，避免选择m的某些值， m不应该是2的幂。 如果m=2^p h(k) 就是 k的p个最低位数字
一个不太接近2的整数幂的素数，常常是一个较好的选择。
质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。
3）乘法散列法
构造散列函数的乘法散列法包含2个步骤，
1，用关键字k乘以常数A(0<A<1),并提取kA的小数部分
2，用m乘以这个值，再向下取整
h(k) = L m*(kA mod 1) j  kA mod 1 即kA的小数部分，即kA - LkAj
乘法散列法对m的选择不是特别关键。一般选择它为2的某个幂
假设计算机的字长为w位，而k正好可以用一个单字表示。限制A为形如s/2^w的一个分数，其中s是一个取自0<s<2^w 的整数
先用w位整数s=A*2^w 乘以k, 其结果是一个2w的值 r1*2^w + r0, 这里r1为乘积的高位字，r0为乘积的低位字。
所求的p位散列值中，包含了r0的p个最高有效位。
最佳散列值
A = (sqrt(5) - 1)/2 = 0.6180339887...
作为一个例子，假设k=123456, p=14, m=2^14=16384, 且w=32
取A为形如s/2^32的分数，它与（sqrt(5)-1)最接近，于是A=2654435769/2^32. 那么，k*s = 327706022297664
= (76300*2^32) + 17612864, 从而有r1=76300 和 r0=17612864. r0的14个最高有效位产生了散列值h(k) = 67

 

全域散列法
设H为一组有限的散列函数，它将给定的关键字全域U映射到{0,1,...,m-1}中。这样的一组函数族称为全域的，如果
对每一对不同的关键字k,l 属于U,满足h(k)=h(l)的散列函数h 属于H的个数至多为H/m, 换句话说，如果从H中随机地选择一个
散列函数，当关键字k!=l时，两者发生冲突的概率不大于1/m, 这也正好是从集合{0,1,..m-1}中独立地随机选择h(k)和h(l)时
发生的概率。
定理，如果h选自一组全域散列函数，将n个关键字散列到一个大小为m的表T中，并用链接法解决冲突。如果关键字k不在表中，
则k被散至链表的期望长度至多为a=n/m, 如果关键字k在表中，则包含关键字k的链表期望长度至多为1+a
设计一个全域散列函数类
选择一个足够大的素数p, 使得每一个可能的关键字k都落在0到p-1的范围内（包括0和P-1)
设Zp表示集合{0，1,....,p-1} Zp* 表示集合{1,2,....p-1} 由于p是一个素数，故可以利用第31章给出的方法来求解模p
的方程。因为我们家的关键字的全域大小大于散列表中的槽数，故有p>m
现在，对于任何a属于Zp* 和任何b属于Zp,定义散列函数hab, 利用一次线性变换，在进行模p 和 模m的规约，有
hab(k) = ((ak+b)modp)modm
例如如果有 p=17, m=6, 则 h3,4(8) = 5
这样得到到散列函数构成的函数簇为 H ={hab :ａE Zp*, b E Zp}

开发寻址法
在开放寻址法中，所有的元素都存放在散列表里。也就是说，每个表项或包含动态集合中的一个元素，或包含NIL
装载因子a绝对不会超过1
h:Ux {0,1,...m-1} ->{0,1,...,m-1}
对于每一个关键字k, 使用开放寻址的探索序列 probe sequence
< h(k,0),h(k,1),...h(k,m-1)>

HASH-INSERT(T,k)
i=0
repeat
 j = h(k,i)
 if (T[j] == NIL)
    T[j] = k
    return j
 else i = i+1
until i==m
error "hash table overflow"

HASH-SEARCH(T,k)
i = 0
repeat
 j = h(k,j)
 if T[j] == k
    return j
  i = i + 1
until T[j]==NIL or i == m
return NIL

均匀散列，每个关键字的探索序列尽可能的为<0,1,...m-1> 的 m!种排列的任一种。均匀散列难以实现
三种近似方法，用来计算开放寻址中的探索序列，线性探索，二次探索，双重探索。
线性探索：
给定一个普通的散列函数h\': U ->{0,1,...m-1},称之为辅助散列函数（auxiliary hash function),
线性探查（linear probing)方法采用的散列函数为
h(k,i) = (h\'(k)+ i)mod m, i=0,1,...m-1
给定一个关键字k, 搜寻探查槽T[h\'(k)],即由辅助散列函数所给出的槽位。 再探查槽T[h\'(k) +1],依次类推，直至槽
T[m-1]. 然后又绕到槽T[0],T[1],...直到最后探查到槽T[h\'(k)-1].在线性探查方法中，初始探查位置决定了整个序列，故
有m中不同探查序列。

存在的问题，一次群集（primary clustering) ,随着连续被占槽的不断增加，评价查找时间随之不断增加。
二次探查
h(k,i)=(h\'(k) + c1i + c2i^2) mod m h\'是辅助散列函数，c1和c2是辅助常数，i=0,1,...m-1
容易出现二次群集问题。

双重散列
h(k,i)=(h1(k)+i*h2(k))modm h1,h2均为辅助散列函数。
初始探查位置是T[h1(k)],后续的探查位置是前一个位置加上偏移量h2(k)模m.
为了能查找整个散列表，h2(k)必须要与表的大小m互素
取m为2的幂，并设计一个总产奇数的h2.另一种方法是取m为素数，并设计一个总是返回较m小的正整数的函数h2
例如取m为素数，
h1(k) = k mod m, h2(k)= 1+ (kmodm\')
其中m\'略小于m,比如m-1, 如果K=123456， m=701, m\'=700 h1(k) = 80, h2(k) = 257
我们知道第一个探索位置是80， 然后查每第257个槽模m,直到找到关键字，或者遍历了所有的槽。

 

完全散列
使用散列技术通常是个好的选择，不仅它有优异的平均性能，而且当关键字集合是静态的时，散列技术也能提供出色的最坏
情况的性能。所谓静态，就是指一旦各关键字存入表中，关键字集合就不再变化了。一些应用存在着天然的静态关键字集合
如程序设计中的保留字，或者CD-ROM上的文件集合。完全散列 perfect-hashing
采用两级散列的方法来设计完全散列方案。
第一级与带链接的散列表基本上是一样的：利用从某一全域散列函数簇中仔细选出一个散列函数h, 将n个关键字散列到m个槽
中。然而，我们采用一个较小的二次散列表（secondary hash table)Sj,及相关的散列函数hj,而不是将散列到槽j的所有关键字
建立一个链表。利用精心选择的散列函数hj,可以确保在二级散列上不出现冲突。
为了确保二级上不冲突，需要让散列表Sj的大小mj,为散列到槽j中的关键字数nj的平方。