散列表
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了散列表相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
摘要:
本章介绍了散列表(hash table)的概念、散列函数的设计及散列冲突的处理。散列表类似与字典的目录,查找的元素都有一个key与之对应,在实践当中,散列技术的效率是很高的,合理的设计散函数和冲突处理方法,可以使得在散列表中查找一个元素的期望时间为O(1)。散列表是普通数组概念的推广,在散列表中,不是直接把关键字用作数组下标,而是根据关键字通过散列函数计算出来的。
1、直接寻址表
当关键字的的全域(范围)U比较小的时,直接寻址是简单有效的技术,一般可以采用数组实现直接寻址表,数组下标对应的就是关键字的值,即具有关键字k的元素被放在直接寻址表的槽k中。直接寻址表的字典操作实现比较简单,直接操作数组即可以,只需O(1)的时间。
2、散列表
直接寻址表的不足之处在于当关键字的范围U很大时,在计算机内存容量的限制下,构造一个存储|U|大小的表不太实际。当存储在字典中的关键字集合K比所有可能的关键字域U要小的多时,散列表需要的存储空间要比直接寻址表少的很多。散列表通过散列函数h计算出关键字k在槽的位置。散列函数h将关键字域U映射到散列表T[0....m-1]的槽位上。即h:U->{0,1...,m-1}。采用散列函数的目的在于缩小需要处理的下标范围,从而降低了空间的开销。
散列表存在的问题:两个关键字可能映射到同一个槽上,即碰撞(collision)。需要找到有效的办法来解决碰撞。
3、散列函数
好的散列函数的特点是每个关键字都等可能的散列到m个槽位上的任何一个中去,并与其他的关键字已被散列到哪一个槽位无关。多数散列函数都是假定关键字域为自然数N={0,1,2,....},如果给的关键字不是自然数,则必须有一种方法将它们解释为自然数。例如对关键字为字符串时,可以通过将字符串中每个字符的ASCII码相加,转换为自然数。书中介绍了三种设计方案:除法散列法、乘法散法和全域散列法。
(1)除法散列法
通过取k除以m的余数,将关键字k映射到m个槽的某一个中去。散列函数为:h(k)=k mod m 。m不应是2的幂,通常m的值是与2的整数幂不太接近的质数。
(2)乘法散列法
乘法散列法构造散列函数需要两个步骤。第一步, 用关键字k乘上常数A(0<A<1),并抽取kA的小数部分。然后,用m乘以这个值,再取结果的底。散列函数如下:h(k) = m(kA mod 1)。
(3)全域散列
给定一组散列函数H,每次进行散列时候从H中随机的选择一个散列函数h,使得h独立于要存储的关键字。全域散列函数类的平均性能是比较好的。
4、碰撞处理
通常有两类方法处理碰撞:开放寻址(Open Addressing)法和链接(Chaining)法。前者是将所有结点均存放在散列表T[0..m-1]中;后者通常是把散列到同一槽中的所有元素放在一个链表中,而将此链表的头指针放在散列表T[0..m-1]中。
(1)开放寻址法
所有的元素都在散列表中,每一个表项或包含动态集合的一个元素,或包含NIL。这种方法中散列表可能被填满,以致于不能插入任何新的元素。在开放寻址法中,当要插入一个元素时,可以连续地检查或探测散列表的各项,直到有一个空槽来放置待插入的关键字为止。有三种技术用于开放寻址法:线性探测、二次探测以及双重探测。
<1>线性探测
给定一个普通的散列函数h\':U —>{0,1,.....,m-1},线性探测方法采用的散列函数为:h(k,i) = (h\'(k)+i)mod m,i=0,1,....,m-1
探测时从i=0开始,首先探查T[h\'(k)],然后依次探测T[h\'(k)+1],…,直到T[h\'(k)+m-1],此后又循环到T[0],T[1],…,直到探测到T[h\'(k)-1]为止。探测过程终止于三种情况:
(1)若当前探测的单元为空,则表示查找失败(若是插入则将key写入其中);
(2)若当前探测的单元中含有key,则查找成功,但对于插入意味着失败;
(3)若探测到T[h\'(k)-1]时仍未发现空单元也未找到key,则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。
线性探测方法较容易实现,但是存在一次群集问题,即连续被占用的槽的序列变的越来越长。采用例子进行说明线性探测过程,已知一组关键字为(26,36,41,38,44,15,68,12,6,51),用除余法构造散列函数,初始情况如下图所示:
散列过程如下图所示:
<2>二次探测
二次探测法的探查序列是:h(k,i) =(h\'(k)+i*i)%m ,0≤i≤m-1 。初次的探测位置为T[h\'(k)],后序的探测位置在次基础上加一个偏移量,该偏移量以二次的方式依赖于i。该方法的缺陷是不易探查到整个散列空间。
<3>双重散列
该方法是开放寻址的最好方法之一,因为其产生的排列具有随机选择的排列的许多特性。采用的散列函数为:h(k,i)= (h1(k)+ih2(k)) mod m。其中h1和h2为辅助散列函数。初始探测位置为T[h1(k)],后续的探测位置在此基础上加上偏移量h2(k)模m。
(2)链接法
将所有关键字为同义词的结点链接在同一个链表中。若选定的散列表长度为m,则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组T[0..m- 1]。凡是散列地址为i的结点,均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中,装填因子α可以大于1,但一般均取 α≤1。
举例说明链接法的执行过程,设有一组关键字为(26,36,41,38,44,15,68,12,6,51),用除余法构造散列函数,初始情况如下图所示:
最终结果如下图所示:
5、字符串散列
通常都是将元素的key转换为数字进行散列,如果key本身就是整数,那么散列函数可以采用key mod tablesize(要保证tablesize是质数)。而在实际工作中经常用字符串作为关键字,例如身姓名、职位等等。这个时候需要设计一个好的散列函 数进程处理关键字为字符串的元素。参考《数据结构与算法分析》第5章,有以下几种处理方法:
方法1:将字符串的所有的字符的ASCII码值进行相加,将所得和作为元素的关键字。设计的散列函数如下所示:
1 int hash(const string& key,int tablesize) 2 { 3 int hashVal = 0; 4 for(int i=0;i<key.length();i++) 5 hashVal += key[i]; 6 return hashVal % tableSize; 7 }
此方法的缺点是不能有效的分布元素,例如假设关键字是有8个字母构成的字符串,散列表的长度为10007。字母最大的ASCII码为127,按照方法1可得到关键字对应的最大数值为127×8=1016,也就是说通过散列函数映射时只能映射到散列表的槽0-1016之间,这样导致大部分槽没有用到,分布不均匀,从而效率低下。
方法2:假设关键字至少有三个字母构成,散列函数只是取前三个字母进行散列。设计的散列函数如下所示:
1 int hash(const string& key,int tablesize) 2 { 3 //27 represents the number of letters plus the blank 4 return (key[0]+27*key[1]+729*key[2])%tablesize; 5 }
该方法只是取字符串的前三个字符的ASCII码进行散列,最大的得到的数值是2851,如果散列的长度为10007,那么只有28%的空间被用到,大部分空间没有用到。因此如果散列表太大,就不太适用。
方法3:借助Horner\'s 规则,构造一个质数(通常是37)的多项式,(非常的巧妙,不知道为何是37)。计算公式为:key[keysize-i-1]37^i,0<=i<keysize求和。设计的散列函数如下所示:
1 int hash(const string & key,int tablesize) 2 { 3 int hashVal = 0; 4 for(int i =0;i<key.length();i++) 5 hashVal = 37*hashVal + key[i]; 6 hashVal %= tableSize; 7 if(hashVal<0) //计算的hashVal溢出 8 hashVal += tableSize; 9 return hashVal; 10 }
该方法存在的问题是如果字符串关键字比较长,散列函数的计算过程就变长,有可能导致计算的hashVal溢出。针对这种情况可以采取字符串的部分字符进行计算,例如计算偶数或者奇数位的字符。
6、再散列(rehashing)
如果散列表满了,再往散列表中插入新的元素时候就会失败。这个时候可以通过创建另外一个散列表,使得新的散列表的长度是当前散列表的2倍多一些,重新计算各个元素的hash值,插入到新的散列表中。再散列的问题是在什么时候进行最好,有三种情况可以判断是否该进行再散列:
(1)当散列表将快要满了,给定一个范围,例如散列被中已经被用到了80%,这个时候进行再散列。
(2)当插入一个新元素失败时候,进行再散列。
(3)根据装载因子(存放n个元素的、具有m个槽位的散列表T,装载因子α=n/m,即每个链子中的平均存储的元素数目)进行判断,当装载因子达到一定的阈值时候,进行在散列。
在采用链接法处理碰撞问题时,采用第三种方法进行在散列效率最好。
以上是关于散列表的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章