奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

Posted 2020-08-26 刘建平Pinard

　　　　奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

　　　　我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：$$Ax=\\lambda x$$

　　　　其中A是一个$n \\times n$的实对称矩阵，$x$是一个$n$维向量，则我们说$\\lambda$是矩阵A的一个特征值，而$x$是矩阵A的特征值$\\lambda$所对应的特征向量。

　　　　求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的$n$个特征值$\\lambda_1 \\leq \\lambda_2 \\leq ... \\leq \\lambda_n$,以及这$n$个特征值所对应的特征向量$\\{w_1,w_2,...w_n\\}$，，如果这$n$个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：$$A=W\\Sigma W^{-1}$$

　　　　其中W是这$n$个特征向量所张成的$n \\times n$维矩阵，而$\\Sigma$为这n个特征值为主对角线的$n \\times n$维矩阵。

　　　　一般我们会把W的这$n$个特征向量标准化，即满足$||w_i||_2 =1$, 或者说$w_i^Tw_i =1$，此时W的$n$个特征向量为标准正交基，满足$W^TW=I$，即$W^T=W^{-1}$, 也就是说W为酉矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成$$A=W\\Sigma W^T$$

　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2.  SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个$m \\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：$$A = U\\Sigma V^T$$

　　　　其中U是一个$m \\times m$的矩阵，$\\Sigma$是一个$m \\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个$n \\times n$的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足$U^TU=I, V^TV=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

　　　　那么我们如何求出SVD分解后的$U, \\Sigma, V$这三个矩阵呢？

　　　　如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到$n \\times n$的一个方阵$A^TA$。既然$A^TA$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$$(A^TA)v_i = \\lambda_i v_i$$

　　　　这样我们就可以得到矩阵$A^TA$的n个特征值和对应的n个特征向量$v$了。将$A^TA$的所有特征向量张成一个$n \\times n$的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

　　　　如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到$m \\times m$的一个方阵$AA^T$。既然$AA^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：$$(AA^T)u_i = \\lambda_i u_i$$

　　　　这样我们就可以得到矩阵$AA^T$的m个特征值和对应的m个特征向量$u$了。将$AA^T$的所有特征向量张成一个$m \\times m$的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

　　　　U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$\\Sigma$没有求出了。由于$\\Sigma$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$\\sigma$就可以了。

　　　　我们注意到:$$A=U\\Sigma V^T \\Rightarrow AV=U\\Sigma V^TV \\Rightarrow AV=U\\Sigma \\Rightarrow  Av_i = \\sigma_i u_i  \\Rightarrow  \\sigma_i =  Av_i / u_i $$

 　　　 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\\Sigma$。

　　　 上面还有一个问题没有讲，就是我们说$A^TA$的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而$AA^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。$$A=U\\Sigma V^T \\Rightarrow A^T=V\\Sigma^T U^T \\Rightarrow A^TA = V\\Sigma^T U^TU\\Sigma V^T = V\\Sigma^2V^T$$

　　　　上式证明使用了:$U^TU=I, \\Sigma^T\\Sigma=\\Sigma^2。$可以看出$A^TA$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到$AA^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

　　　　进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：$$\\sigma_i = \\sqrt{\\lambda_i}$$

　　　　这样也就是说，我们可以不用$  \\sigma_i =  Av_i / u_i$来计算奇异值，也可以通过求出$A^TA$的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

　　　　这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

$$\\mathbf{A} =
\\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1\\\\  1& 1\\\\  
1& 0 \\end{array} \\right)$$

　　　　我们首先求出$A^TA$和$AA^T$

$$\\mathbf{A^TA} =
\\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1 &1\\\\
1&1& 0 \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1\\\\  1& 1\\\\  
1& 0 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{ccc}
2& 1 \\\\
1& 2 \\end{array} \\right)$$

$$\\mathbf{AA^T} =
 \\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1\\\\  1& 1\\\\  
1& 0 \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1 &1\\\\
1&1& 0 \\end{array} \\right) = \\left( \\begin{array}{ccc}
1& 1 & 0\\\\ 1& 2 & 1\\\\
0& 1& 1 \\end{array} \\right)$$

 　　　　进而求出$A^TA$的特征值和特征向量：$$\\lambda_1= 3; v_1 = \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{2} \\\\
1/\\sqrt{2} \\end{array} \\right); \\lambda_2= 1; v_2 = \\left( \\begin{array}{ccc}
-1/\\sqrt{2} \\\\
1/\\sqrt{2} \\end{array} \\right) $$

　　　　接着求$AA^T$的特征值和特征向量：

$$\\lambda_1= 3; u_1 = \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{6} \\\\ 2/\\sqrt{6} \\\\
1/\\sqrt{6} \\end{array} \\right); \\lambda_2= 1; u_2 = \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{2} \\\\ 0 \\\\
-1/\\sqrt{2} \\end{array} \\right);  \\lambda_3= 0; u_3 = \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{3} \\\\ -1/\\sqrt{3} \\\\
1/\\sqrt{3} \\end{array} \\right)$$　

　　　　利用$Av_i = \\sigma_i u_i, i=1,2$求奇异值：

$$
 \\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1\\\\  1& 1\\\\  
1& 0 \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{2} \\\\
1/\\sqrt{2} \\end{array} \\right) = \\sigma_1 \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{6} \\\\ 2/\\sqrt{6} \\\\
1/\\sqrt{6} \\end{array} \\right) \\Rightarrow  \\sigma_1=\\sqrt{3}$$

$$
 \\left( \\begin{array}{ccc}
0& 1\\\\  1& 1\\\\  
1& 0 \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{ccc}
-1/\\sqrt{2} \\\\
1/\\sqrt{2} \\end{array} \\right) = \\sigma_2 \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{2} \\\\ 0 \\\\
-1/\\sqrt{2} \\end{array} \\right) \\Rightarrow  \\sigma_2=1$$

当然，我们也可以用$\\sigma_i = \\sqrt{\\lambda_i}$直接求出奇异值为$\\sqrt{3}$和1.

 最终得到A的奇异值分解为：$$A=U\\Sigma V^T = \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{6} & 1/\\sqrt{2} & 1/\\sqrt{3} \\\\ 2/\\sqrt{6} & 0 & -1/\\sqrt{3}\\\\
1/\\sqrt{6} & -1/\\sqrt{2} & 1/\\sqrt{3} \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{ccc}
\\sqrt{3} & 0 \\\\  0 & 1\\\\
0 & 0 \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{ccc}
1/\\sqrt{2}  & 1/\\sqrt{2}  \\\\
-1/\\sqrt{2}  & 1/\\sqrt{2}  \\end{array} \\right)$$　　　　　　

4. SVD的一些性质　

　　　　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

　　　　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：$$A_{m \\times n} = U_{m \\times m}\\Sigma_{m \\times n} V^T_{n \\times n} \\approx U_{m \\times k}\\Sigma_{k \\times k} V^T_{k \\times n}$$

　　　　其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵$U_{m \\times k},\\Sigma_{k \\times k} ,V^T_{k \\times n}$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

　　　　由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

　　　　在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$X^TX$的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^TX$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

　　　　注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$X^TX$最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$X^TX$，也能求出我们的右奇异矩阵$V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

　　　　另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

　　　　假设我们的样本是$m \\times n$的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵$XX^T$最大的d个特征向量张成的$m \\times d$维矩阵U，则我们如果进行如下处理：$$X\'_{d \\times n} = U_{d \\times m}^TX_{m \\times n}$$

　　　　可以得到一个$d \\times n$的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的$m \\times n$维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。　　　　

6. SVD小结　

　　　　SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。

 

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