图（最短路径算法————迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法）.RP

Posted 2020-08-24

文转：http://blog.csdn.net/zxq2574043697/article/details/9451887

 

一：

最短路径算法

1. 迪杰斯特拉算法

2. 弗洛伊德算法

二：

1. 迪杰斯特拉算法

求从源点到其余各点的最短路径

依最短路径的长度递增的次序求得各条路径

路径长度最短的最短路径的特点：

在这条路径上，必定只含一条弧，并且这条弧的权值最小。

下一条路径长度次短的最短路径的特点：

它只可能有两种情况：或是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)。

再下一条路径长度次短的最短路径的特点:

它可能有三种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点。

其余最短路径的特点：

它或者是直接从源点到该点(只含一条弧)；或者是从源点经过已求得最短路径的顶点，再到达该顶点。

迪杰斯特拉算法

算法：

(a) 初始化：用起点v到该顶点w的直接边(弧)初始化最短路径，否则设为∞；

(b)从未求得最短路径的终点中选择路径长度最小的终点u：即求得v到u的最短路径；

(c) 修改最短路径：计算u的邻接点的最短路径，若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w)，则以(v,…,u,w)代替。

(d) 重复(b)-(c)，直到求得v到其余所有顶点的最短路径。

特点：总是按照从小到大的顺序求得最短路径。

顶点A到其他顶点的最短路径

Dijkstra算法可描述如下：

?初始化：S← { v0 }; 

         dist[j] ←Edge[0][j],   j = 1, 2, …, n-1;

                                         // n为图中顶点个数

· 求出最短路径的长度：

         dist[k] ← min{ dist[i] },  i?V- S ;

         S←SU { k};

? 修改： 

      dist[i] ← min{ dist[i], dist[k] + Edge[k][i] },

               对于每一个i?V- S ;

1 判断：  若S = V, 则算法结束，否则转

 

二：

弗洛伊德算法

求每对顶点之间的最短路径。

依次计算矩阵A(0)，A(1)，…，A(n)。

A(0)为邻接矩阵，

计算A(k)时，
A(k)(i,j)=min{A(k-1)(i,j), A(k-1)(i,k)+A(k-1)(k,j)}。

A(0) [i][j]是从顶点vi 到vj , 中间顶点是v0的最短路径的长度,  A(k) [i][j]是从顶点vi 到vj ,  中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度, A(n-1)[i][j]是从顶点vi 到vj 的最短路径长度。

 

 

弗洛伊德算法的基本思想是：

从 vi 到 vj 的所有可能存在的路径中，选出一条长度最短的路径。

n 次试探:

若<vi,vj>存在，则存在路径{vi,vj}

                // 路径中不含其它顶点

若<vi,v0>,<v0,vj>存在，则存在路径{vi,v0,vj}

             // 路径中所含顶点序号不大于0

若{vi,…,v1}, {v1,…,vj}存在，

   则存在一条路径{vi, …, v1, …vj}

             // 路径中所含顶点序号不大于1

      …

依次类推，则 vi 至 vj 的最短路径应是上述这些路径中，路径长度最小者。

 

求每对顶点之间的最短路径

 

 

 

弗洛伊德算法

技巧：计算A(k)的技巧。

第k行、第k列、对角线的元素保持不变，对其余元素，考查A(i,j)与A(i,k)+A(k,j)（第k列i“行”元素加上第k行j“列”元素，简记为“行+列”），如果后者更小则替换A(i,j)，同时修改路径。

本节给出的求解最短路径的算法不仅适用于带权有向图，对带权无向图也可以适用。因为带权无向图可以看作是有往返二重边的有向图，只要在顶点vi 与vj 之间存在无向边(vi , vj )，就可以看成是在这两个顶点之间存在权值相同的两条有向边< vi , vj >和< vj , vi >。

试利用Dijkstra算法求下图中从顶点1到其他各顶点间的最短路径，写出执行算法过程中各步的状态