递归算法详解

Posted 2020-08-22 upstreamL

http://blog.csdn.net/effective_coder/article/details/8742979
                                                                                递归算法详解

        C语言通过运行时堆栈来支持递归的调用，在我们刚接触递归的时候，国内很多教材都采用求阶乘和菲波那契数列来描述该思想，就如同深受大家敬爱的国产的C语言程序设计，老谭也用了阶乘来描述递归，以至于很多新手一看见阶乘就理所当然的认为是递归，坑了不少人，说实在的，描述这个思想还是可以，但是利用递归求阶乘可是没有一点好处，递归解决菲波那契数列效率更是低得惊人，这点是显而易见的！废话不多说，接下来我们进入正题！（不过说实话，我很讨厌接下来这些太理论的东西，说到底就是那么个意思，大家懂就好了，也可以当看看故事！我主要说的就是各种各样递归的实例）

 

1：递归算法的思想

 递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。在C语言中的运行堆栈为他的存在提供了很好的支持，过程一般是通过函数或子过程来实现。

递归算法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。

 

2：递归算法的特点：

递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

递归算法解决问题的特点：

(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。

(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。

3：递归算法的要求

递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：

一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；

二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

4：各式各样利用递归的问题

1：首先看看那些传统的问题吧，如使用递归来解决斐波那契数列的第n个数是多少？（开始从1开始）

 

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1. #include <iostream>  
2. using namespace std;  
3.   
4. int Fib(int index);  
5. int main(int argc, char* argv[])  
6. {  
7.     cout<<Fib(12)<<endl;  
8.     system("pause");  
9.     return 0;  
10. }  
11.   
12. int Fib(int index)  
13. {  
14.     if(index==1 || index==2)  
15.         return index;  
16.     else  
17.         return Fib(index-1) + Fib(index-2);    //开始递归调用  
18.   
19. }  

写程序的时候我测试了一下，假如要第100个数字，那时间可不知道等了多久，调用函数达到了上千次，速度太慢，对于这种情况，我们对比一下不使用的递归的时候时间消耗，这里只需要多加一个函数即可

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 print?

1. #include <iostream>  
2. #include <ctime>  
3. using namespace std;  
4.   
5. int Fib2(int index);  
6. int Fib1(int index);  
7. int main(int argc, char* argv[])  
8. {  
9.     clock_t start,finish;  
10.   
11.     cout<<"不使用递归:"<<endl;  
12.     start = clock();  
13.     cout<<"所得结果为 "<<Fib2(40)<<endl;  
14.     finish = clock();  
15.     cout<<"时间消耗为 "<<finish - start<<"毫秒"<<endl;  
16.   
17.     cout<<endl;  
18.     cout<<"使用递归:"<<endl;  
19.     start = clock();  
20.     cout<<"所得结果为 "<<Fib1(40)<<endl;  
21.     finish = clock();  
22.     cout<<"时间消耗为 "<<finish - start<<"毫秒"<<endl;  
23.   
24.     system("pause");  
25.     return 0;  
26. }  
27.   
28. int Fib1(int index)  
29. {  
30.     if(index==1 || index==2)  
31.         return index;  
32.     else  
33.         return Fib1(index-1) + Fib1(index-2);    //开始递归调用  
34. }  
35.   
36. int Fib2(int index)  
37. {  
38.     if(index == 1 || index ==2)  
39.         return index;  
40.     int *array = new int [index+1];  
41.     array[1]=1;                //第0个元素没有使用  
42.     array[2]=2;  
43.     for(int i=3;i<=index;++i)  
44.         array[i] = array[i-1] + array[i-2];  
45.     return array[index];  
46. }  

运行结果：

结果显而易见，差距太明显，在这里我们同时求第40个斐波那契数字比较时间消耗，所以大家可以看到递归的时间消耗是非常严重，而且效率非常低下，上面已经说了，在可以不用递归的时候尽量不用，那么递归是不是一无是处勒？答案是否定的，在很多程序设计大赛中，有很多题用一般的思路是很难解的，或者是过程繁琐，如果适当的利用递归，结果将事半功倍！！！

 

 2:递归的汉诺塔

这个程序以及说明在分治算法那一节已经说了,递归和分治通常都是结合在一起使用的,一次次的缩小范围,而且子问题和原问题具有相同的结构!　　这里我直接把汉诺塔代码拷贝过来，就不多说了！

 

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1. #include <stdio.h>    
2. #include <stdlib.h>    
3.     
4. static int count = -1;    
5.     
6. void move(char x,char y);                             // 对move函数的声明     
7. void hanoi(int n,char one,char two,char three)       ;// 对hanoi函数的声明\    
8.     
9. int main()    
10. {              
11.     int m;    
12.     printf("请输入一共有多少个板子需要移动:");    
13.     scanf("%d",&m);    
14.     printf("以下是%d个板子的移动方案:\n",m);    
15.     hanoi(m,‘A‘,‘B‘,‘C‘);    
16.     system("pause");    
17.     return 0;    
18. }    
19.     
20. void hanoi(int n,char one,char two,char three)        // 定义hanoi函数      
21. // 将n个盘从one座借助two座,移到three座     
22. {    
23.         
24.     if(n==1)    
25.         move(one,three);    
26.     else    
27.     {    
28.         hanoi(n-1,one,three,two);                   //首先把n-1个从one移动到two    
29.         move(one,three);                            //然后把最后一个n从one移动到three    
30.         hanoi(n-1,two,one,three);                   //最后再把n-1个从two移动到three    
31.     }    
32. }    
33.     
34.     
35. void move(char x,char y)                           //  定义move函数     
36. {    
37.     count++;    
38.     if( !(count%5) )    
39.         printf("\n");    
40.     printf("%c移动至%c  ",x,y);    
41. }    

３：兔子繁殖问题（递归实现）

 

一对小兔子一年后长成大兔子，一对大兔子每半年生一对小兔子，大兔子的繁殖期为４年，兔子的寿命为６年，假定第一年年初投放了一对小兔子，请编程实现，第Ｎ年年末总共有多少只兔子，Ｎ由键盘输入！

解析，这个题目比较好懂，也就是一对小兔子前一年长大，然后每半年产一对小兔子，持续４年，然后最后一年不生殖了，再过一年死亡，题目看似简单，其实要想递归起来可不是那么容易的，大家可以想一下！

代码如下：
 

 

4：整数的划分问题

将一个整数分解为若干个整数之和的形式，比如 n = n1+n2+n3+n4··········！不同划分的个数称为N的划分数。

例如对于6而言：

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3;3+2+1;3+1+1+1;

2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1     一共有6种！

 

1、 q(n,1) = 1 ，n>=1 ;
当最大加数不大于1时，任何正整数n只有一种表示方式：n = 1+1+……+1 。n个1的和。
2、q( n,m ) = q( n,n )，n<=m;  最大加数不能大于n。
3、 q( n,n ) = 1 +  q( n , n-1 );   正整数的划分由n1=n和n1<=n的划分组成。
4、q( n,m ) = q( n,m-1 )+q( n-m,m ), n>m>1；正整数n的最大加数不大于m的划分由 n1=m的划分和n1<m的划分组成。

现在可以依据这个递推原理写出程序：

 

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1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. int intPart( int n , int m ) ;  
4. int main()  
5. {  
6.     int num ;  
7.     int partNum = 0 ;  
8.     printf("Please input an integer:/n") ;  
9.     scanf("%d",&num) ;  
10.     partNum = intPart(num,num);  
11.     printf("%d/n",partNum) ;  
12.     system("pause");  
13.     return 0;  
14. }  
15. int intPart( int n , int m )  
16. {  
17.     if( ( n < 1 ) ||( m < 1 ) ) return 0 ;  
18.     if( ( n == 1 )||( m == 1 ) ) return 1 ;  
19.     if( n < m ) return intPart( n , n ) ;  
20.     if( n == m ) return intPart( n , m-1 ) + 1 ;  
21.     return intPart( n , m-1 ) + intPart( n - m , m ) ;  
22. }  

运行结果可以看到一共有11种情况

 

5 整数的全排列问题：

全排列的递归实现也就是不停的交换两个数的位置,题目描述这里就省了，直接上代码！

 

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1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. #include <string.h>  
4. void swap(char *a,char *b)  
5. {  
6.     char temp = *a;  
7.     *a = *b;  
8.     *b = temp;  
9. }  
10. //k表示循环到第几个字符，m表示该次循环的总长度  
11. void arrange(char *pizstr,int k,int m)  
12. {  
13.     if(k == m)  
14.     {  
15.         static int m_count = 1;  
16.         printf("the %d time:%s\n",m_count++,pizstr);  
17.     }  
18.     else  
19.     {  
20.         for(int i=k;i<=m;i++)                          //主要递归球全排列的代码  
21.         {  
22.             swap(pizstr+k,pizstr+i);  
23.             arrange(pizstr,k+1,m);  
24.             swap(pizstr+k,pizstr+i);  
25.         }  
26.     }  
27. }  
28. void foo(char *p_str)  
29. {  
30.     arrange(p_str,0,strlen(p_str)-1);  
31. }  
32. int main()  
33. {  
34.     char pstr[] = "12345";  
35.     printf("%s\n",pstr);  
36.     foo(pstr);  
37.     system("pause");  
38.     return 0;  
39. }  

时间紧促，有时间再继续举例！持续更新