行列式按行（列）展开

Posted 2020-08-20

1、首先，先介绍一下余子式和代数余子式的概念

余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n－1 阶行列式叫      做元素 aij 的余子式，记作 Mij

代数余子式：Aij = ((-1)^i+j)Mij 叫做元素 aij 的代数余子式

2、行列式的按行（列）展开法则

在学习展开法则之前，我们先介绍一个引理，可以帮助我们理解行列式的按行（列）展开法则；这个引理是什么呢？如下图所示：

(1)引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij 外都为零，那末这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D = aij Aij 。

(2)展开法则的定理： n 阶行列式等于它的任意一行的元素与自己的代数余子式的乘积之和，公式如下              图所示

同理：也等于它的任意一列的元素与自己的代数余子式的乘积之和；

关于定理的解释：

右边的 n 个乘积中，对于任何一项 aik Aik 来说，Aik 的展开式是行列式 D 中除去第 i 行第 k 列的所有的不同行不同列的元素乘积的代数和，共有 (n －1)! 项，所以 aik Aik 就是行列式 D 的展开式中含有 aik 的 (n －1)! 项。当 k 从 1 取到 n 时，正好是行列式 D 的展开式中的 n! 项。

定理的具体做法：利用行列式的展开定理，可以把行列式进行降阶计算，一般可以选择含零较多的行或列，再利用行列式的性质把选定的行或列化成只含一个非零元素，这样展开后就可以直接把高一阶的行列式变成了一个低一阶的行列式来计算 

最后，是一道关于按行展开式的计算例题：

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