排序计数类题目小结

Posted 2020-08-20

考虑到每次出哒哒哒操作，最少多少次操作使数组有序这一类题我都错的很惨，小小地总结一下

 

1.交换相邻位置的点->求逆序对（火柴排队，10.30noip模拟赛T1），有效的操作一定使得逆序对减少一个

 

2.交换任意位置->转化为置换（10.30noip模拟赛T1），置换内交换只需要置换中点个数次

 

3.每次可以把一个数扔到最前面->（HDU5500，noip模拟赛11.12T1）官方题解：

把这题的模型简化一下，有一个1→n的排列形成的数列，我们要用最少的操作次数把这个数列排序，每次操作都是把一个数放到整个数列的最前面。 首先我们可以注意到每个数最多只会被操作一次。因为假如有一个数被往前拿了两次，显然第一次的操作是没有意义的。 然后能发现一定先操作大的数，再操作小的数。因为假如先把小的数放前面去了，再把大的数放前面去，小的数就又在大的数后面了，小的数必定还得再操作一次，然而操作两次是不划算的。

到这里，对于19的数据范围，我们有一个很暴力的做法，2^n2?n??枚举要操作哪些数，这些操作按数的大小从大往小的顺序，模拟一下，然后检查一下最后的序列是否有序，复杂度O(n*2^n)O(n?2?n??)。

我们很快又能发现，假如操作了大小等于kk的数，那么所有小于kk的数也都得操作了。所以我们不用2^n枚举，直接mm从11开始从小到大枚举，表示要操作前mm小的数，然后模拟，验证，这样复杂度为O(n^2)O(n?2??)。

不过其实mm也是不用枚举的。 首先可以发现最大的数nn是不用操作的（其他数操作好了，数"nn"自然就在最后面了）。 于是我们先找到最大的数"nn"的位置，从这个位置往前找，直到找到(n-1)(n?1)。假如找到头也没找到(n-1)(n?1)，那么数"(n-1)(n?1)"需要操作，而一旦操作了(n-1)(n?1)，根据前面结论，总共就需要(n-1)(n?1)次操作了;假如找到了(n-1)，那么数"(n-1)(n?1)"也不需要操作（和数"nn"不需要操作一个道理）。 同理，我们接着从(n-1)(n?1)的位置往前找(n-2)(n?2),再从(n-2)(n?2)的位置往前找(n-3)(n?3)...假如数kk找不到了，那么就至少需要kk次操作。这种做法的复杂度是O(n)O(n)的

个人理解：每次把后面最大的往前扔，就不会导致出现有点扔两次，并且这样一定能够扔完...

 

4.每次可以和他后面（不一定相邻）的数交换->统计比后面的最小值大的数的个数即可，原因...不知道//再想想？（noip模拟赛11.14T1）

 

之后还有的话再写//还有脑洞也可以再写T T