转：错排公式

Posted 2020-08-17 谦谦君子，陌上其华

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成： 
第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。 
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。 
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数 
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。