错排公式

Posted 2022-12-27 3200pheathon

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错排公式

d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2])

模版题：

lgP1595 信封问题

题目描述

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入格式

一个信封数n（n<=20）

输出格式

一个整数，代表有多少种情况。

输入输出样例

输入 #1复制

2

输出 #1复制

1

输入 #2复制

3

输出 #2复制

2

 

    第一次估计错误 喜提60
（话说字体为什么变了鸭）
   
  long long long is too long for  GCC
  
   代码如下

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register int
 3 #define LL long long 
 4 #define maxn 20+5 
 5 
 6 using namespace std;
 7 int n; 
 8 LL d[maxn]; 
 9 int main()
10 
11     ios::sync_with_stdio(false);
12     cin>>n;
13     d[2]=1;
14     for(re i=3;i<=n;i++)
15     d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2]);
16     cout<<d[n];
17   

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UVA11481 Arrange the Numbers

 

愉快地复制在luogu写的题解（题解这东西没必要写两遍嘛）

前置知识：错排公式 （好吧知不知道错排公式不是很重要）

题意：

给出n,m,k,求n个数的排列满足前m个数中恰好有k个数不是错排的方案数。

多组输入输出，数据组数t满足：1<=t<=5.

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m个数钦定k个数在正确的位置上的方案数是： $C_m^k$

因为要求恰好k个数不是错排，那么剩下n-k个数中前m-k个数必定是错排。

设f[i][j]为i个数，前j个数必须是错排的方案数。

则f[i][0]=i!

f[i][j]=f[i][j-1]-f[i-1][j-1]

i个数前j个必为错排的方案数==i个数前j-1个数必为错排的方案数-i个数前j-1个数必为错排&&第j个数是j的方案数

因为第j个数已经钦定 所以(i个数前j-1个数必为错排的方案数&&第j个数==j的方案数)==i-1个数前j-1个数必为错排的方案数 

细节见代码

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 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register int
 3 #define maxn 1000+5
 4 #define LL long long
 5 #define mod 1000000007
 6 
 7 using namespace std;
 8 int t,n,m,k;
 9 LL c[maxn][maxn];
10 LL f[maxn][maxn];//f[i][j]表示i位数前j位错排的方案数 
11 void pre()
12 
13     for(re i=0;i<=1000;i++)
14     c[i][0]=1;//c[0][0]也设1 不然乘的时候会爆炸233333 
15     for(re i=1;i<=1000;i++)
16     for(re j=1;j<=i;j++)
17     c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
18     f[0][0]=1;//不初始化成1 f[1][1]&&f[1][0]会出错
19     //当然f[1][1]会出错比较重要 
20     for(re i=1;i<=1000;i++)
21     f[i][0]=(f[i-1][0]*i)%mod;
22     for(re i=1;i<=1000;i++)
23     for(re j=1;j<=i;j++)
24     f[i][j]=((f[i][j-1]-f[i-1][j-1])%mod+mod)%mod;
25     //i个数前j个必为错排的方案数==i个数前j-1个数必为错排的方案数-i个数前j-1个数必为错排&&第j个数是j的方案数
26 
27     //因为第j个数已经钦定 所以(i个数前j-1个数必为错排的方案数&&第j个数==j的方案数)==i-1个数前j-1个数必为错排的方案数 
28 
29 int main()
30 
31     ios::sync_with_stdio(false);
32     cin>>t;
33     pre();
34     for(re i=1;i<=t;i++) 
35     
36         cin>>n>>m>>k;
37         LL  ans=(c[m][k]*f[n-k][m-k])%mod;
38         cout<<"Case"<<" "<<i<<": "<<ans<<endl; 
39     
40     return 0;
41 

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