代数几何与动力系统（转）

Posted 2020-08-17 张文彪的博客

10月16日，记者从浙江大学获悉，浙大数学科学学院青年学者于飞的探索引起国际数学界浓厚兴趣，4位国际著名数学家日前联名发布论文，证明了于飞在黎曼曲面模空间的动力学领域提出的一个重要猜想，并将其推广到更普遍的情况且应用在数学其他领域。
这4位数学家中最著名的当属法国高等科学研究所教授M·孔采维奇，这位数学大师曾获得1998年的菲尔兹奖和由扎克伯格、马云等人提供奖金设立的基础物理学奖和数学突破奖等。其他3位数学家是美国科学院院士、芝加哥大学教授A·埃斯金，巴黎第七大学教授A·卓里奇和德国歌德大学教授M·穆勒。他们的论文已发布在全球科学家交流成果的重要平台arxiv.org网站上。4位数学家在论文摘要的开头明确指出：“我们证明了于飞的猜想。”
 台球的运动轨迹
黎曼曲面模空间上的动力系统是现代数学中一个高度抽象、高度交叉又十分重要的研究领域。
以尽可能通俗的话语，于飞向记者介绍了自己的工作。这项核心问题有多个背景，其中较容易理解的一个背景是，研究一个台球在球台上的运动行为。“台球滚出去，碰到球台的一边就会反弹，然后再碰上另一条边，再反弹……假定台球一直运动下去，就会留下一个很复杂的轨迹。”于飞说，“如果我们在出发前就给台球施加一个小小的扰动，整个轨迹还会发生很大的变化。同时，科学家还想知道，如果球台不是我们常见的四方形，而是多边形，情况又会是什么样。”
物理学家们100多年前就试图研究这个乍看之下并不很困难的问题，结果，人们至今仍在思考这个问题——它比前人想象得要复杂得多。
大自然给人们呈现出纷繁莫测的表象，而使其中深藏着的简单真相浮现出来，就是于飞心目中数学家的工作理念。
伊朗女数学家米尔扎哈尼和巴西数学家阿维拉获得2014年菲尔兹奖的部分工作就出自此领域。而于飞提出的猜想被视为20年来在该领域中一个核心问题的突破。
 幸运降临的一刻
20世纪90年代中期，孔采维奇和卓里奇用混沌理论中的一组重要指数——李雅普诺夫指数，来描述台球运动轨迹的“蝴蝶效应”，并建立了这组指数之和与模空间的陈省身类之间的联系。“解答这一问题的轮廓逐渐浮现出来。”于飞说，这也成为自己工作的起点。
2012年，德国歌德大学教授穆勒，哈佛大学博士、现就职于美国波士顿学院的陈大卫，德国美因兹大学左康教授和于飞先后给出过孔采维奇和卓里奇在此领域一个猜想的不同证明，且在后一个证明中，他们首次在此领域引进了代数几何中的具有深刻背景的稳定性概念。
2012年10月的某一天，面对着一些从计算机算出的来自动力系统的数值和理论推导的来自代数几何的数值，于飞突然意识到也许这些看似不相关的数据中可能存在某种内在的简单联系，利用这种联系就能够为孔采维奇－卓里奇所引入的李雅普诺夫指数找到一个下限值，而这个下限值恰恰来自于代数几何中的稳定性。

“这个念头，就是我坐在办公桌前，脑海里飞舞着几个领域不同思想之间的关系时，突然闪现出来的，我一下子就觉得如果真实地存在这种简单又美丽的关系，那确实是一件有趣的事情。”于飞说。那正是艰辛的思维旅程中幸运降临的一刻。

 

他非常高兴地把这一想法和卓里奇等人分享，之后又写出详细阐述这一猜想的论文，公布在arxiv.org网站上。卓里奇激动地回信：“你的猜想看起来非常具有挑战性，到现在我从未听说过任何关于单个李雅普诺夫指数的猜想，我们寻找类似猜测的任何努力都没成功。”而数学家们随后的工作证明，于飞在猜想中提出的这种简单关系是正确有效的，他发现了代数几何和动力系统两个领域之间的联系。
“孔采维奇等数学家给人留下的深刻印象就在于，在他们心中有关于这个世界可能存在方式的整体认知，他们知识面极广，具有丰富的想象力和深刻的洞察力，能够发现不同领域之间意想不到的深刻美丽的联系。”于飞说，自己正是仿效数学大师的哲学精神，取得了研究进展。
 高度抽象的科学
现代数学已经发展为一门高度抽象的科学，与普通人的日常生活经验更是相距甚远。
因此，人们常常发问，现代数学研究的“意义”究竟何在？它难道只是聪明大脑所热衷的一种游戏吗？
回答这一问题，黎曼与广义相对论的联系是于飞爱举的一个例子。19世纪末，当德国数学家黎曼提出对空间的一系列崭新的数学解释时，这种超前的理论也为时人所不解。进入20世纪，正是黎曼所奠基的现代数学，为建立广义相对论提供了工具，而广义相对论所释放的威力已经改变了人类生活的方方面面。
“数学研究并不只是一个智慧游戏，数学家艰苦探寻的真知，是大自然所深藏的奥秘。”于飞说。于飞现在担任浙大竺可桢学院数学求是班的班主任。面对这些刚刚准备踏上科学道路的青年学子，他在课堂上讲述自己提出的猜想：“确实很难，但也很有意思，能激发同学们探求真理之心。”