线性代数与解析几何——Part1 解析几何

Posted 2022-10-03 Espresso Macchiato

• 线性代数与解析几何——Part1 解析几何
  • 0. 前言
  • 1. 向量与复数
    • 1. 向量
    • 2. 向量运算
      • 1. 数量积（内积）
      • 2. 向量积
      • 3. 混合积
  • 2. 空间解析几何
    • 1. 直线和平面
      • 1. 直线的表达
      • 2. 平面的表达
      • 3. 点到直线的距离
      • 4. 点到平面的距离
      • 5. 两直线间的距离
      • 6. 两平面间的夹角
      • 7. 直线与平面的夹角
    • 2. 曲线和曲面
      • 1. 曲线表达式
      • 2. 曲面表达式

0. 前言

线代是很早之前大一上的东西了，当时记得学的还可以，不过确实印象中里面各种零零散散的公式定理有一堆，感觉学的不怎么成体系，后来也一直没怎么真正用起来，等到现在也基本算是把学的全部还给老师了……

不过问题在于，虽然我现在已经不搞物理很多年了，但是架不住我转行做算法了啊，算法的核心不就是各种矩阵计算吗？虽然由于神经网络当中参数的复杂性，我自己也不是研究员，更多时候主要考察的还是数据特征以及对结果进行定性上的分析，而不会从模型结构中涉及的矩阵变换来对结果进行调优，但是线代终究感觉还是有必要去捞一下了……

所以，这里我打算还是掏出当年的教科书把线代给复习一下吧……

不过说到这里，我真的是想好好吐槽一下了，我掏出教科书之后才发现，当年上线代居然用的教材是线性代数与解析几何，然后教材前两章全都在讲解几，里面涉及到的线代相关的东西貌似也全部是服务于坐标系变换的，虽说我是物理系的吧，但是这是不是也太忽悠了啊，难怪当年印象中我好像特意去找了本数学系的线代教材自学来着……

简直了……

算了，先把这本书简单过一下吧，回头下次再找本数学系的教材好好补补吧……

1. 向量与复数

1. 向量

向量的含义顾名思义，就是即有大小又有方向的量，其满足如下性质：

1. 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
2. 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$
3. $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$
4. $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$
5. $1\vec{a}=\vec{a}$
6. $\lambda (\mu \vec{a})=(\lambda \mu )\vec{a}$
7. $(\lambda +\mu )\vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$
8. $\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$

关于向量还有一些比较简单的性质，比如说：

命题1.1.1

• 向量$\vec{a},\vec{b}$共线的充要条件是存在不全为零的实数$\lambda ,\mu$，使得$\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}=0$

命题1.1.2

• 向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$共面的充要条件是存在不全为零的实数$\lambda ,\mu ,\nu$，使得$\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+\nu \vec{c}=0$

另外，我们可以基于此定义线性组合和线性相关：

定义1.1.1

• 设 a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , . . . ,

  以上是关于线性代数与解析几何——Part1 解析几何的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

  向量代数与空间解析几何（后篇）

  一个寻找 SDE 解析解的经验方法——借助 SymPy 计算机代数系统

  2.3 代数解和几何解的比较

  3.1 线性回归 解析解动手学深度学习 v2

  3.1 线性回归 解析解动手学深度学习 v2

  《University Calculus》-chape10-向量与空间几何学-向量夹角