四元数(转自知乎)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了四元数(转自知乎)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
作者:Yang Eninala
链接:http://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
来源:知乎
著作权归作者所有,转载请联系作者获得授权。
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根据我的理解,大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换(我反正没见过其他用法)。那么你不用学群论,甚至不用复习线性代数,看我下面的几张图就可以了。
首先,定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量
,旋转角度为
(右手法则的旋转)。如下图所示:
此图中
,![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta+%3D%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B3%7D+)
![技术分享](https://pic1.zhimg.com/c089c595ab174b5c6886bfc4285460f8_b.jpg)
那么与此相对应的四元数(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式)
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%3D%28cos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avx%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avy%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avz%29)
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%3D%28cos%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7D+%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7D%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7D%29)
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%3Dcos%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2Bsin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7Di+%2Bsin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7Dj%2Bsin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7Dk)
这时它的共轭(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式),
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%5E%7B-1%7D+%3D%28cos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2C-sin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avx%2C-sin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avy%2C-sin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avz%29)
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%5E%7B-1%7D+%3D%28cos%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2C-sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7D+%2C-sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7D%2C-sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7D%29)
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%5E%7B-1%7D+%3Dcos%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29-sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7Di+-sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7Dj-sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B6%7D+%29%2A%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D+%7Dk)
如果你想算一个点
在这个旋转下新的坐标
,需要进行如下操作,
1.定义纯四元数
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=qw%3D%280%2Cwx%2Cwy%2Cwz%29%3D0%2Bwx%2Ai%2Bwy%2Aj%2Bwz%2Ak)
2.进行四元数运算
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=qw%5E%7B%27%7D+%3Dq%2Aqw%2Aq%5E%7B-1%7D++)
3.产生的
一定是纯四元数,也就是说它的第一项为0,有如下形式:
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=qw%5E%7B%27%7D+%3D%280%2Cwx%5E%7B%27%7D%2Cwy%5E%7B%27%7D%2Cwz%5E%7B%27%7D%29%3D0%2Bwx%5E%7B%27%7D%2Ai%2Bwy%5E%7B%27%7D%2Aj%2Bwz%5E%7B%27%7D%2Ak)
4.
中的后三项
就是
:
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=w%5E%7B%27%7D+%3D%28wx%5E%7B%27%7D%2Cwy%5E%7B%27%7D%2Cwz%5E%7B%27%7D%29)
这样,就完成了一次四元数旋转运算。
同理,如果你有一个四元数:
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=q%3D%28q1%2Cq2%2Cq3%2Cq4%29%3D%28cos%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avx%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avy%2Csin%28%5Cfrac%7B%5Ctheta+%7D%7B2%7D+%29%2Avz%29)
那么,它对应一个以向量
为轴旋转
角度的旋转操作(右手法则的旋转)。
***********************************************************************************************************
如果你想对四元数有着更深入的了解,请往下看。
四元数由汉密尔顿发明,这一发明起源于十九世纪的某一天。在这一天早上,汉密尔顿下楼吃早饭。这时他的儿子问他,“爸爸,我们能够对三元数组(triplet,可以理解为三维向量)做乘法运算么?”汉密尔顿说“不行,我只能加减它们。”
这时来自21世纪的旁白旁先生说,“大家快来看十九世纪的数学家有多二,连内积和外积都不是知道。”
十九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积,但是他知道,他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。这一乘法运算要满足下列四条性质:
1.运算产生的结果也要是三维向量
2.存在一个元运算,任何三维向量进行元运算的结果就是其本身
3.对于任何一个运算,都存在一个逆运算,这两个运算的积是元运算
4.运算满足结合律
换而言之,汉密尔顿想定义的不是一个简单的映射关系,而是一个群!(后来我们知道四元数所在群为S3,而四元数所代表的三维旋转是SO(3),前者是后者的两倍覆盖)内积连性质1都不满足,外积不满足性质3。
汉密尔顿先生就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜,他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天(1843年的一天),汉密尔顿先生终于意识到了,自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的,但在四维空间中是可以的,他是如此的兴奋,以至于把四元数的公式刻在了爱尔兰的一座桥上。
旁白:“WTF,我让你讲三维物体的旋转,你给我扯到四维空间上去。”
(不加说明,以下所说四元数全为单位四元数)
其实,四元数有四个变量,完全可以被看作一个四维向量。单位四元数(norm=1)则存在于四维空间的一个球面上。
,四元数
乘以四元数
其实看作(1)对
进行
左旋转,或者(2)对
进行
右旋转。所以从始至终,四元数定义的都是四维旋转,而不是三维旋转!任意的四维旋转都可以唯一的拆分为一个左旋转和一个右旋转,表达出来就是
。这里,我们对四元数(四维向量)
进行了一个
左旋转和一个
右旋转。结果当然是一个四元数,符合性质1。这个运算也同时符合性质2,3,4。
好了,说完了四维旋转,我们终于可以说说三维旋转了。说白了,三维旋转就是四维旋转的一个特例,就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。说是特例其实不准确,准确的说是一个子集或者subgroup。为了进行三维旋转运算,汉密尔顿首先在四维空间里划出了一块三维空间。汉密尔顿定义了一种纯四元数(pure quaternion),其表达式为
。纯四元数第一项为零,它存在于四维空间的三维超平面上,与三维空间中的三维向量一一对应。然后,就有了我们常见的
这种左乘单位四元数,右乘其共轭的表达式。我真心不知道汉密尔顿是怎么想出来的,不过回过头来看,这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说,当对一个三维向量进行三维旋转后,我们希望得到的是一个三维向量。(如果你真能得到一个四维向量,就不敢自己在家转圈圈了吧,转着转着,就进入四次元了!)那么这个左乘单位四元数,右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。
把左乘和右乘表达为矩阵形式会让我们看的更清楚一些。依照
的定义,
的矩阵形式为
![技术分享](//zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5B%0A++%5Cbegin%7Barray%7D%7B+c+c+c+c%7D%0A1+%26+0+%26+0+%26+0%5C%5C%0A++++0+%26+q_%7B1%7D%5E2%2Bq_%7B2%7D%5E2-q_%7B3%7D%5E2-q_%7B4%7D%5E2+%26+2q_%7B2%7Dq_%7B3%7D-2q_%7B1%7Dq_%7B4%7D+++++++++%26+2q_%7B2%7Dq_%7B4%7D%2B2q_%7B1%7Dq_%7B3%7D+++++++++%5C%5C%0A++0%26++++2q_%7B2%7Dq_%7B3%7D%2B2q_%7B1%7Dq_%7B4%7D+++++++++%26+q_%7B1%7D%5E2-q_%7B2%7D%5E2%2Bq_%7B3%7D%5E2-q_%7B4%7D%5E2+%26+2q_%7B3%7Dq_%7B4%7D-2q_%7B1%7Dq_%7B2%7D+++++++++%5C%5C%0A+++0+%26++2q_%7B2%7Dq_%7B4%7D-2q_%7B1%7Dq_%7B3%7D+++++++++%26+2q_%7B3%7Dq_%7B4%7D%2B2q_%7B1%7Dq_%7B2%7D+++++++++%26+q_%7B1%7D%5E2-q_%7B2%7D%5E2-q_%7B3%7D%5E2%2Bq_%7B4%7D%5E2%0A++%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D%0A%5Cleft%5B%0A++%5Cbegin%7Barray%7D%7B+c+%7D%0A0%5C%5C+wx%5C%5C+wy%5C%5C+wz%0A++%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D)
很明显,前面的矩阵虽然是一个4x4的四维旋转矩阵,但是它只是在右下角3x3的区域内和一个单位矩阵有所不同。所以说,它是一个限制在三维超平面上的四维旋转。如果表达式右边不是共轭,而是任意四元数,那么我们所作的就是一个很普通的四维旋转。如果只是左乘一个单位四元数,右边什么都不乘,那么我们得到的是四维旋转的一个子集,这个子集并不能保证结果限制在三维超平面上。如果只右乘,不左乘也是一样一样的。
说了这么多,对于坚持到最后的你,上图一幅,以表感谢。
![技术分享](https://pic2.zhimg.com/c1a4657d87e2d863fd00439397783475_b.jpg)
其实这张图解释了一个长久的疑问。为什么四元数
里用的是
而不是
。这是因为
做的就是一个
的旋转,而
也做了一个
的旋转。我们进行了两次旋转,而不是一次,这两次旋转的结果是一个旋转角为
的旋转。
首先,定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量
此图中
![技术分享](https://pic1.zhimg.com/c089c595ab174b5c6886bfc4285460f8_b.jpg)
那么与此相对应的四元数(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式)
这时它的共轭(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式),
如果你想算一个点
1.定义纯四元数
2.进行四元数运算
3.产生的
4.
这样,就完成了一次四元数旋转运算。
同理,如果你有一个四元数:
那么,它对应一个以向量
***********************************************************************************************************
如果你想对四元数有着更深入的了解,请往下看。
四元数由汉密尔顿发明,这一发明起源于十九世纪的某一天。在这一天早上,汉密尔顿下楼吃早饭。这时他的儿子问他,“爸爸,我们能够对三元数组(triplet,可以理解为三维向量)做乘法运算么?”汉密尔顿说“不行,我只能加减它们。”
这时来自21世纪的旁白旁先生说,“大家快来看十九世纪的数学家有多二,连内积和外积都不是知道。”
十九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积,但是他知道,他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。这一乘法运算要满足下列四条性质:
1.运算产生的结果也要是三维向量
2.存在一个元运算,任何三维向量进行元运算的结果就是其本身
3.对于任何一个运算,都存在一个逆运算,这两个运算的积是元运算
4.运算满足结合律
换而言之,汉密尔顿想定义的不是一个简单的映射关系,而是一个群!(后来我们知道四元数所在群为S3,而四元数所代表的三维旋转是SO(3),前者是后者的两倍覆盖)内积连性质1都不满足,外积不满足性质3。
汉密尔顿先生就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜,他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天(1843年的一天),汉密尔顿先生终于意识到了,自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的,但在四维空间中是可以的,他是如此的兴奋,以至于把四元数的公式刻在了爱尔兰的一座桥上。
旁白:“WTF,我让你讲三维物体的旋转,你给我扯到四维空间上去。”
(不加说明,以下所说四元数全为单位四元数)
其实,四元数有四个变量,完全可以被看作一个四维向量。单位四元数(norm=1)则存在于四维空间的一个球面上。
好了,说完了四维旋转,我们终于可以说说三维旋转了。说白了,三维旋转就是四维旋转的一个特例,就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。说是特例其实不准确,准确的说是一个子集或者subgroup。为了进行三维旋转运算,汉密尔顿首先在四维空间里划出了一块三维空间。汉密尔顿定义了一种纯四元数(pure quaternion),其表达式为
把左乘和右乘表达为矩阵形式会让我们看的更清楚一些。依照
很明显,前面的矩阵虽然是一个4x4的四维旋转矩阵,但是它只是在右下角3x3的区域内和一个单位矩阵有所不同。所以说,它是一个限制在三维超平面上的四维旋转。如果表达式右边不是共轭,而是任意四元数,那么我们所作的就是一个很普通的四维旋转。如果只是左乘一个单位四元数,右边什么都不乘,那么我们得到的是四维旋转的一个子集,这个子集并不能保证结果限制在三维超平面上。如果只右乘,不左乘也是一样一样的。
说了这么多,对于坚持到最后的你,上图一幅,以表感谢。
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其实这张图解释了一个长久的疑问。为什么四元数
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