bzoj 1045 糖果传递

Posted 2020-08-16 xqmmcqs

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1045

题解：

　　完全不求知怎么推导，于是引用hzw大犇的题解：

　　首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

　　假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

　　对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

　　同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

　　尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

　　对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1（假设C1=A1-ave，下面类似）

　　对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

　　对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

　　……

　　对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

　　我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 #define MAXN 10000000
 5 int n,ave,a[MAXN],c[MAXN];
 6 long long sum,ans;
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%d",&n);
10     for(int i=1;i<=n;i++)
11     {
12         scanf("%d",&a[i]);
13         sum+=a[i];
14     }
15     ave=sum/n;
16     for(int i=2;i<=n;i++)
17     {
18         c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;
19     }
20     sort(c+1,c+n+1);
21     int mid=c[(n>>1)+1];
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23         ans+=abs(c[i]-mid);
24     printf("%lld",ans); 
25     return 0;
26 }