二叉图（高级数据结构）

Posted 2020-08-15

一、定义

二叉图（Binary-Map），一种C++14规范中引入的高级数据结构。其集合了二叉树和图论的优点，在世界算法数据结构大会上由斯茂·斯迪尤德恩特首先提出。 
　　二叉图在形式上类似于二叉树，其实现类似于图论（在下面的代码中有介绍）。由N个点，E条边构成，E在等于N-1时二叉图的复杂度退化为二叉树，其主要特征是二叉图的深度为depth以下的点中可以以图的方式两两连接，并忽略其中边权，直接理解为两点重合，从而达到以二叉形式实现连通环的目的。 
　　其形式近似于完全连通的杨辉三角或子节点重合的完全二叉树，在时间操作上遍历可以达到O（nlog1/n）的极低复杂度。适用于LCA查询任意点，在实现大规模数据时建树复杂度近似级数求和。 
　　虽然称作二叉，但其实际上是图论适用的内容，广泛适用于各大领域，在优化近似堆维护SPFA等算法上都有应用。 
　　完全二叉图和满二叉图的原理类似，但极易由于数据退化，因此这里不作探讨。 
　　在NOIP2013初赛第九题中命题组首次引入了此概念。

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二、STL实现

binary_map<pair<int,int> > q;

q.push_back(make_pair(u,v))//建边
q.push_front(make_pair(u,v))//建边
这两个都是建边，但是可能导致遍历的方式不同

q.find_root()//return 图的根节点
q.size()//return 图的大小
q.get_depth()//return 图的深度
q.empty()//如果图为空，return false，否则，return true;

q.top()//return 是pair<int,int>型的边
q.back()//return 是pair<int,int>型的边
区别同push_back与push_front

q.pop()//根据前序遍历弹出第一个点
q.back_pop()//根据后序遍历弹出第一个点

q.begin()//return iterator型的指针，返回第一个数据
q.end()//return iterator型的指针，返回最后一个数据

q.__lca(int x,int y)//return a与b的最近公共点

priority_binarymap<pair<int,int> >q;

由于优先二叉图具有的性质类似于优先队列，内部用斐波那契堆维护，不过只能从一头取出元素。
q.push(make_pair<u,v>);//将一条边放入堆内
q.top();//返回边权值最小的一条边，返回的类型是pair<int,int>
q.pop();//弹出堆顶的元素
q.empty();//如果图为空，则返回false，否则，返回true

同时与优先队列相同，也有小根堆
priority_binarymap<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> >

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三、二叉图的应用

这里需要先引进一个概念，二叉图的重心。 
该重心的概念是和该数据结构同时在大会上提出的，重心的概念类似于信息学中的数据结构的树的重心。 
其主要意义出自于其几何概念，实现由C++的标准库进行。 
二叉图的重心通过深度优先搜索来遍历，从而实现了该二叉图边权的中心搜索，在最大流和二叉图对称完备匹配中有广泛的应用。

struct node
{
    int lc,rc;
    int value;
}binary_map[N];
int dis[N][N];
void dfs(int root)
{
    int lc,int rc;
    if(binary_map[root].lc)
    lc+=dfs(binary_map[root].lc)+dis[root][binary_map[root].lc];
    else
    return 0;
    if(binary_map[root].rc)
    rc+=dfs(binary_map[root].rc)+dis[root][binary_map[root].rc];
    else
    return 0;
    binary_map[root].value=lc+rc;
}
遍历binary_map中,求lc与rc比例的中间值