bzoj2118 墨墨的等式

Posted 2020-08-15 MashiroSky

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2118 (题目链接)

题意

　　给出B的取值范围[Bmin,Bmax]，求方程a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=B有多少B可以使等式存在非负整数解。

Solution

　　问题很容易就被转化为：用a_1,a₂,a₃,······a_n能组成多少个在范围[Bmin,Bmax]内的数。这是一类经典的图论问题。

　　我们假设a[]中最小的元素为T，可以考虑用n个数能够组成的数对T的模的情况。用dis[i]表示构成的一个数Q，且Q mod T=i，Q是满足上述两个条件的最小值。我们在这里将题目中的区间改为具体的询问，更好的进行讨论，对于询问X，设X mod T=i，则有以下三种情况：

1. dis[i]>x。由于用这n个数构成的一个模T为i的数，这个数的最小值为dis[i]，而dis[i]>x，说明X是无法构成的。
2. dis[i]=x。由于用这n个数构成的一个模T为i的数，这个数的最小值为dis[i]，而dis[i]=x，说明X可以构成，且是能构成的模T等于i的最小的数。
3. dis[i]<x。由于用这n个数构成的一个比X更小的 mod T为i的数Q，则X mod T=Q mod T，且X必定可以由Q加上若干个T得到，因此，X也是可以构成的。

　　由上述三点可知，当dis[i]<=X时，X是可以被构成的，否则则不能。

　　现在的问题是如何求解dis数组？

　　相信各位看官已经发现dis数组的命名有点诡异，没错就是用最短路求解。由于dis[i] mod T=i，i的范围在0~T-1内，因此可以建立T个点0,1,2,······,T-1。对于点i和任意一个数a[j]，设k=(i+a[j]) mod T，可以认为从i到k连条边权为a[j]的边，表示可以从 mod T=i这个点，通过加上边权a[j]，到达 mod T=k的点。由于T mod T=0，即可设T为数字编号为0的点。要求X是否能由n个数构成，就要求出dis[X mod T]的最小值了；当X大于等于dis[X mod T]，它就能够由着n个数构成，设X mod T=j，dis[j]即为j这个店到达0点的最短距离，它可以由0点直接加边权a[j]得到，也可以经过其他中间点到达。转换后，它就是个最短路问题了。

　　再回到这个问题上。于是我们先建图，跑一遍最短路，预处理出dis数组，然后枚举i=0~T-1，计算模T为i的数在区间[Bmin,Bmax]中有多少个，统计答案即可。

细节

　　堆里面又忘记开long long了，尴尬。

代码

// bzoj2118
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define MOD 10007
#define inf (1ll<<60)
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=500010;
struct edge {int to,next,w;}e[maxn*10];
struct data {
	LL num,w;
	friend bool operator < (const data a,const data b) {
		return a.w>b.w;
	}
};
int head[maxn],a[maxn],vis[maxn];
int n,cnt;
LL L,dis[maxn],R;

void link(int u,int v,int w) {
	e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;e[cnt].w=w;
}
void Dijkstra() {
	priority_queue<data> q;
	for (int i=0;i<a[1];i++) dis[i]=inf;
	data x=(data){0,0},y;
	dis[0]=0;
	q.push(x);
	while (!q.empty()) {
		x=q.top();q.pop();
		if (vis[x.num]) continue;
		vis[x.num]=1;
		for (int i=head[x.num];i;i=e[i].next)
			if (dis[e[i].to]>x.w+e[i].w) {
				y.w=dis[e[i].to]=x.w+e[i].w;
				y.num=e[i].to;
				q.push(y);
			}
	}
}
int main() {
	scanf("%d%lld%lld",&n,&L,&R);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	sort(a+1,a+1+n);
	if (!a[n]) return printf("0"),0;
	for (int i=0;i<a[1];i++)
		for (int j=2;j<=n;j++) link(i,(a[j]+i)%a[1],a[j]);
	Dijkstra();
	LL ans=0;
	for (int i=0;i<a[1];i++) if (dis[i]<=R) {
			LL l=max(0ll,(L-dis[i])/a[1]);
			if (l*a[1]+dis[i]<L) l++;
			LL r=(R-dis[i])/a[1];
			if (r*a[1]+dis[i]>R) r--;
			ans+=r-l+1;
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}