看得懂的傅立叶变换

Posted 2020-08-15 蒲公英110

说起傅立叶变换，大部分科班出身的都上过课，但真正深入理解的，很少，用的起来的，就更少了。

傅立叶变换，本质上就是用一组特征量来对一个信号的一种描述。比如我们描述一个人，就是把一个人从地球上70亿人口唯一的表达出来，于是我们引入了一组特征量：

1、国籍，这样就约束在中国12亿人口内了

2、省份，大概约束在1亿以内了

3、县市，千万级别了

4、乡镇，最多也就是百十万

5、街道，那就是以万、千为记了

6、门牌号，就剩下一口几个人了

7、姓名

这个就是，它唯一的表达了一个有限量70亿分之一。

那么还有其他的表达方式，用来描述这个人，比如乔布斯，就问70亿人，谁是乔布斯，大家都是知道，设计iPhone的那个人。但对于一般人来说，我们常用的是，身材、脸型，这些就可以把他从70亿里面明确出来了

所以确定一个人，一个70亿分之一的人，方法有很多种，如从地域区分、相貌区分、能力区分、口音区分、贡献区分等等，可以有无限多种方式。

那么我们就明白了一点，一个信号，只要它是有限的，同样，也是可以如同人一样，可以有很多的方式表达它的，并且能够表达它的唯一性，那么这个就要从数学上推理，跟人类比

 

1、一个信号，它必须是有限量的，若它是无限的，那么谁都描述不了，所以我们要描述的，都是具体的有限的信号。

2、必须要有一套可以用来描述这个信号的一系列的完备的（数学上往往是无限的）、独立不相关的特征，因为我们要描述的是任意一个人，而不是乔布斯，所以必须要有一整套的特征体系。那么从数学上，就要构建一套这样的特征信息出来，其中，cos（nwt）、sin(nwt),n从1到无穷，这一套三角函数，就完备的满足了条件。需要注意的是，数学上必须要证明这些cos(nwt)和sin(nwt)组合起来的三角函数系必须能够描述任意的曲线，这个就是靠高数里面的级数展开证明的。

3、把信号与参考的这整套特征比对，把信号在这套特征上的分量都表示出来即可，这个就如同三维坐标，一个点投影在其上面，于是就有了X、Y、Z三个坐标，只是三维坐标是一套有限的直角坐标，现在换成了一套无限的三角函数坐标罢了。

4、三角函数坐标，是傅立叶先发明的，所以以他的名字来命名。

最后结论，傅立叶变换本质上就是一个有限的信号量在无限维三角坐标系下的投影，因为信号不是一个点，而是一个曲线，所以不能以有限的直角坐标来描述。

 

现在流行的3G的扩频，采用了另外一套数字化的坐标，类似傅立叶变换，叫沃尔什函数，今后将在GSM与CDMA区别中介绍。