什么是傅立叶变换？为什么要进行傅立叶变换？一些回忆

Posted 2023-05-11

傅立叶变换表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

傅里叶变换可以将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

正是由于拥有良好的性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

扩展资料：

在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：

1、傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子。

2、傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。

3、正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方。

参考资料来源：百度百科—傅立叶变换

参考技术A 今天的现代通信网课上讲到傅立叶变换，老师翻出了一些以前信号系统和通信原理课本里的概念和公式，突然感到既熟悉又陌生。也难怪，原本读研之前一直以为今后就会和这些东西说再见，而彻底地投入计算机和网络的世界中，以至于开学来苏州这边的时候，本科的教材一本都没带过来。如今突然再次用到，多少感慨涌入心头，又怀念起以前大二时盯着一本书的公式发呆的日子，呵呵。 毋庸置疑，信号与系统（Signals and Systems）这门课绝对是信息类专业的核心课程（没有之一。。。）有些同学可能会提通信原理，但是如果没有信号系统这门课作为支撑，那么通信原理就好像盖楼只用混凝土不用钢筋一样，空有内容，搭不起一个知识体系。而傅立叶变换自然就是其核心内容了。 由于手头没有书，这里只是凭借记忆和网上搜到的内容，写下我对傅立叶变换的一些学习体会，具体的内容以后还会陆续补充。希望能给没有学习过信号系统这门课的同学一些小小的帮助。（其实我也搞不懂现代通信网这门课怎么给这老师讲成了通信原理，所以写这些东西，主要是方便大家加深对这些概念的理解吧。。。） 记得当年的任课老师有一句口头禅：信号系统改变了我们的世界观。。。当然这有些夸张，但是从某些角度来说，并非毫无道理。我们平常接触的世界是一个可感知的世界，很多事物都可以由包含时间这一维度的某个函数来表示。如股票价格的涨跌，就是一个普通的函数f(t),其中t表示时间。同理，声音也可以用这个函数反映出其强度随时间的变化；另外，在离散信号中，如一幅图像，是一个二维信号f(x,y)，这里的自变量x,y类似于上文的t，只不过由一维扩展到二维，由一个连续的时间变成了一串离散的序列。总而言之，现实世界中我们直观上看到信号，都可以称为“时域”信号。 信号系统这门课的贡献就是，它为我们展现了一种新的观察世界的角度，即“频域”。频域的度量称为频谱，频谱的横坐标为频率w(对应于上文的t),纵坐标就是频谱值。那么怎样实现从时域到频域的变换？大名鼎鼎的傅立叶变换(Fourier Transform)就是一种方法。 傅立叶变换公式如下：（*） 其中，w为频率，函数F(w)为频谱。傅立叶变换建立了从时域到频域的映射。 这里暂时不详细介绍公式，先看它的由来。 傅立叶，法国人，数学家，物理学家。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数（即三角级数)、傅立叶分析等理论均由此创始。 在分析傅立叶变换之前，先引出复信号的概念。大家都知道复数包括实数和虚数，一个复数总可以表示成x=a+bj(j为虚单位)。同理，信号也分实虚，实信号即是平常看得见摸得着的信号，引入虚的概念后，就可以将复信号解释清楚了。 回到刚才的问题，实际上傅立叶变换建立的是“复”频域与时域的联系。上文说过，傅立叶发现任何一个函数f(t)都可以用很多个三角函数的和（**） 表示，其中w是三角函数的角频率。另外，这个表示方法是一定的，即总能找到，并且能严格逼近。 为什么说傅立叶变换建立了复频域和时域的联系？频域有和上面的三角函数又有什么联系？难道只是因为cos(wt)中的w名字叫做频率吗？显然不是。 根据欧拉公式，其中，w是角频率，j是虚数单位。 带入上文公式（**），于是傅立叶的这个发现就可以解释通了：任何一个时域的函数f(t),都可以表示成很多个复指数 、的和的形式，w恰好就是频谱中的频率。这样，傅立叶变换便建立了时域和复频域的联系。 将coswt和sinwt的公式带入傅立叶变换的定义式（*），即可得到cos(Wt)的频谱为F(w)=pi*[sigma(w-W)+sigma(w+W)];即是频谱两边对称的两个冲击信号。 这也是为什么原信号乘以正弦信号之后就可以被调制成高频信号。 上文（*）公式给出的傅立叶变换是连续时间傅立叶变换，而严格意义上的傅立叶变换分为几种形式（CFS,CTFT,DFS,DTFT），每一种对应的情况都不相同，公式也不一样，这里不再一一介绍。
再说说为什么要进行傅立叶变换。举个例子，比如压缩电影、压缩照片，利用的就是人眼对某些频带以外的信号频谱反应不敏感的原理。将数据进行傅立叶变换，用滤波器过滤掉相对来说对人眼无用的高频和低频部分，就可以保证在不影响整体效果的情况下，最大程度地压缩图像数据。 不难想象，如果在时域上裁剪出这些数据的一部分，那数据的完整性将根本无法保证，比如将照片减去一半或是将影片头尾剪辑掉之类。然而在频域上的裁剪却可以大体上保证数据的质量，这正是频域的奇妙之处，它给我们提供了从另一个角度看世界的方法。本回答被提问者采纳 参考技术B 这个就相当于一个展开问题，从一个域转化成为另一个域，而人看待问题时总喜欢在有限的范围内看到规律，于是就出现各种变换，例如在空域中我们不容易观察出图像的整体结构，那么将其转化到频域后可以看到轮廓和细节所占的比重

傅立叶变换的物理意义

1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？

        傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

       和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

       因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

       从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

       在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：

       1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;

       2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

       3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

       4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

       5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

       正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。http://hovertree.com/

2、图像傅立叶变换的物理意义

       图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数

       傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰

注：

       1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：

       若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

       2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）

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