动态规划-最长非降子序列

Posted 2020-08-15 xqmmcqs

有关概念：

　　最长上升子序列（LIS，Longest Increasing Subsequence），在一个序列中最长的单调递增的子序列

思路：
　　求LIS通常有O(n²)和O(nlogn)两种算法

（1）O(n²)算法

　　f_i表示以第i个数结尾的LIS长度

　　对于序列中的一个数i，在i前面枚举数j，j满足比i小且f_j最大，将i作为j的后继

　　伪代码&状态转移方程：

　　f₁=1

　　for i=2...n

　　　　for j=1...i-1

　　　　　　if(a_j<a_i)f_i=max(f_i,f_j+1)

　　最后结果在f₁~f_n中取最大值

　　当然，可以在更新f_i的时候顺便记录j的位置，在最后可以输出整个LIS

 1 #include<cstdio>
 2 #define MAXN 
 3 int n,a[MAXN],f[MAXN],ans;
 4 inline int max(int x,int y)
 5 {
 6     return x>y?x:y;
 7 }
 8 int main()
 9 {
10     scanf("%d",&n);
11     for(int i=1;i<=n;++i)
12     {
13         scanf("%d",&a[i]);
14         f[i]=1;
15     }
16     for(int i=2;i<=n;++i)
17         for(int j=1;j<i;++j)
18             if(a[i]>a[j]&&f[j]+1>=f[i])f[i]=f[j]+1;
19     for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[i]);
20     printf("%d",ans);
21     return 0;
22 }

（2）O(nlogn)算法

　　f_i表示长度为i的非降子序列的最小末尾，len记录当前最长的非降子序列长度

　　可得f₁<=f₂<=f₃<=...<=f_maxlen

　　每次读入一个数字k，先与f_len比较，如果大于则添加至f_++len，作为原来f_len的后继

　　否则在f中找到f_i<k<=f_i+1，更新为f_i+1为k，即k比原来f_i+1更优，可作为f_i的后继

　　最后输出len即可

　　然而查找过程可以用二分优化，就得出这种算法

 　（样例推导见大犇博客http://www.cnblogs.com/ziyi--caolu/p/3227121.html）

 1 #include<cstdio>
 2 #define MAXN 
 3 int n,s[MAXN],f[MAXN],len;
 4 int main()
 5 {
 6     scanf("%d",&n);
 7     scanf("%d",&s[1]);
 8     f[1]=s[1];
 9     for(int i=2;i<=n;++i)
10     {
11         scanf("%d",&s[i]);
12         if(s[i]>f[len])f[++len]=s[i];
13         else
14         {
15             int l=1,r=len;
16             while(l<r)
17             {
18                 int mid=(l+r)>>1;
19                 if(s[i]>f[mid])l=mid+1;
20                 else r=mid;
21             }
22             f[l]=s[i];
23         }
24     }
25     printf("%d",len);
26     return 0;
27 }