LIS：最长上升子序列

Posted 2020-06-13

　　学习动态规划问题（DP问题）中，其中有一个知识点叫最长上升子序列（longest  increasing subsequence），也可以叫最长非降序子序列，简称LIS。简单说一下自己的心得。（大神可无视。。）

　　我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。

　　让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

　　前1个数 d(1)=1 子序列为2；

　　前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

　　前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

　　前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

　　前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

　　前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

　　前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

　　前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

　　前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

　　d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

　　总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。话不多说，show me the code！下面是代码实现的算法。

 1 int LIS(int A[],int n)
 2 {
 3     int* d = new int[n];
 4     int len = 1;
 5     int i,j;
 6     for(i=0;i<n;i++)
 7     {
 8         d[i]=1;
 9         for(j=0;j<i;j++)
10         {
11             if(A[j]<=A[i] && (d[j]+1)>=d[i])
12                 d[i]=d[j]+1;
13         }
14         if(d[i]>len) len=d[i];
15     }
16     delete []d;
17     return len;
18 }

 

　　这个算法的时间复杂度为〇(n²)，并不是最优的算法。在限制条件苛刻的情况下，这种方法行不通。那么怎么办呢！有没有时间复杂度更小的算法呢？说到这里了，当然是有的啦！还有一种时间复杂度为〇(nlogn)的算法，下面就来看看。

　　我们再举一个例子：有以下序列A[]=3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。

　　我们定义一个B[i]来储存可能的排序序列，len为LIS长度。我们依次把A[i]有序地放进B[i]里。（为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）

　　A[1]=3，把3放进B[1]，此时B[1]=3，此时len=1，最小末尾是3

　　A[2]=1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1]=1，此时len=1，最小末尾是1

　　A[3]=2，2大于1，就把2放进B[2]=2，此时B[]={1,2}，len=2

　　同理，A[4]=6，把6放进B[3]=6，B[]={1,2,6}，len=3

　　A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[]={1,2,4}，len=3

　　A[6]=5，B[4]=5，B[]={1,2,4,5}，len=4 

　　A[7]=10，B[5]=10，B[]={1,2,4,5,10}，len=5

　　A[8]=7，7在5和10之间，比10小，可以把B[5]替换为7，B[]={1,2,4,5,7}，len=5

　　最终我们得出LIS长度为5。但是，但是！！这里的1 2 4 5 7很明显并不是正确的最长上升子序列。是的，B序列并不表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列。这有什么用呢？我们最后一步7替换10并没有增加最长子序列的长度，而这一步的意义，在于记录最小序列，代表了一种“最可能性”。假如后面还有两个数据8和9，那么B[6]将更新为8，B[7]将更新为9，len就变为7。读者可以自行体会它的作用。

　　因为在B中插入的数据是有序的，不需要移动，只需要替换，所以可以用二分查找插入的位置，那么插入n个数的时间复杂度为〇(logn)，这样我们会把这个求LIS长度的算法复杂度降为了〇(nlogn)。话不多说了，show me the code！

 1 int put(int arr[], int l, int r, int key)//在arr[l...r]中二分查找插入位置
 2 {
 3     int mid;
 4     if (arr[r] <= key)
 5         return r + 1;
 6     while (l < r)
 7     {
 8         mid = l + (r - l) / 2;
 9         if (arr[mid] <= key)
10             l = mid + 1;
11         else
12             r = mid;
13     }
14     return l;
15 }
16 
17 int LIS(int A[], int n)
18 {
19     int i = 0, len = 1 ,next;
20     int* B = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1));
21     B[1] = A[0]; 
22     for (i = 1;i < n;i++)
23     {
24         int next = put(B, 1, len, A[i]); 
25         B[next] = A[i];
26         if (len < next)    len = next;
27     }
28     return len;
29 }

　　说了那么多，这个到底有什么用途呢？因为我们新生赛中就有这一题，那就一起来看一下实例吧！

 

Example：

  好多好多球

Time Limit:1000MS  Memory Limit:65535K

题型: 编程题   语言: 无限制

描述

一天，Jason买了许多的小球。有n个那么多。他写完了作业之后就对着这些球发呆，这时候邻居家的小朋友ion回来了，

Jason无聊之际想到了一个游戏。他把这n个小球从1到n进行标号。然后打乱顺序，排成一排。然后让ion进行一种操作：

每次可以任意选择一个球，将其放到队列的最前端或者队列的最末尾。问至少要进行多少次操作才能使得球的顺序变成正序1,2,3,4,5……n。

输入格式

包含多组测试数据，每组数据第一行输入一个n(1 <= n <= 100),表示有n个球。第二行有n个数字ai（1 <= ai <= n）,ai两两各不相同。

输出格式

每组测试数据输出占一行，表示最少的操作次数使得小球变得有序。

输入样例

4

3 2 1 4

 

2

2 1

输出样例

2

1

 

　　分析：题意是把n个乱序的数变为顺序，移动次数最少。运用了最长上升子序列的思想，那我们可以求这组序列的“最长上升子序列”，为什么打了引号呢。。因为。。这里其实不叫最长上升子序列，而是最长每次递增+1序列（← ←）是不是有点拗口。。因为这里的n个数的大小就是从1~n，若是升序就是1,2,3，……，n。所以，就是这样了。下面show the code. 不过当时是用C写的，都一样，重在理解。

 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int a[150];
 5     int n,i,j,x,count,maxlist;
 6     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
 7     {
 8         for(i=0;i<n;i++)
 9             scanf("%d",&a[i]);
10         maxlist=1;
11         if(n==1) printf("0\n");
12         else
13         {
14             for(i=0;i<n;i++)
15             {
16                 x=a[i];
17                 count=1;
18                 for(j=i+1;j<n;j++)
19                 {
20                     if(a[j]==x+1)
21                     {
22                         x++;
23                         count++;
24                     }
25                 }
26                 if(count>maxlist)
27                         maxlist=count;
28             }
29             printf("%d\n",n-maxlist);
30         }
31     }
32 }

　　其实当时还不知道最长上升子序列到底是啥东东。。现在学习动态规划就顺便复习了一下。也就记录下来，给自己看看吧。

　　如有错误，敬请指出！