NOI 2015 荷马史诗BZOJ 4198k叉Huffman树

Posted 2020-08-14

抱歉因为NOIP集训，好长时间没再写题解了。

NOI 2015也就只有这道题一看就能懂了……

4198: [Noi2015]荷马史诗

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Description

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

Output

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

Sample Input

4 2
1
1
2
2

Sample Output

12
2

HINT

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最长字符串 si 的长度为 2。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

 

这道题要是没学过Huffman还能想出来就超神了……但是Huffman好像是普及组都学过的知识吧。

一般的Huffman树都是二叉的，其思想是每次取数列中权值最小的两个节点，合并成一个新的节点作为他们的父亲，其权值为两子节点权值之和。具体实现可以使用优先队列维护（就是个堆）

而这道题设计的k进制数字串就加大了这个题目的难度（虽然实际上也不是很难）

题目中的“对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。”这个条件就告诉我们，这道题是个k叉Huffman树。

又因为题目中要求最长的si的长度最小值，所以我们可以使用二元组（val，dep）添加到优先队列里面去，排列方法就是先按val的值升序，再按dep的值升序。

考虑到k比较小，每次贪心Huffman树的时候最多会执行k+1次操作，所以这个对时间复杂度O（nlogn）并没有太大的影响。

有一个点需要注意：每次选择k个权值最小的点的时候容易让最后一次合并的时候的点不足k个。假设最初有n个点，最后有1个点，每次合并删除k个点又放进1个点。那么易得：（n-1）是（k-1）的倍数。如果（n-1）%（k-1）！=0，那么就要再放入（k-1-（n-1）%（k-1））个虚拟点，并且它们的权值为0，它们也参与求最小k个点。 

所以，可以得到此题的算法： 
1）处理这n个权值，加入虚拟点，这些点的val值上文已经告诉，dep值为0，ans=0； 
2）每次取出前k小的点，求它们的val之和sum，求它们的dep的最大值d，那么放入的新点应该是（sum，d+1），把它放入原来的容器里面并要求有序，且ans+=sum（画一棵哈夫曼树，想想求文章长度的过程能这么实现的原理）； 
3）当容器内只有一个点时，输出ans和这个点的dep值。 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cmath>
 6 #include <cstdlib>
 7 #include <queue>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 int n, k, top;
11 struct _data {
12     ll w,h;
13     bool operator < (const _data &x) const {
14         return this->w != x.w ? this->w > x.w : this->h > x.h;
15     }
16 };
17 priority_queue<_data> q;
18 int main() {
19     scanf("%d%d", &n, &k);
20     for(int i = 1; i <= n; i++) {
21         ll w; scanf("%lld", &w);
22         q.push((_data){w, 0});
23     }
24     if((n - 1) % (k - 1) != 0)top = k - 1 - (n - 1) % (k - 1);
25     for(int i = 1; i <= top; i++)
26         q.push((_data){0, 0});
27     top += n;
28     ll ans = 0;
29     for(; top != 1; top -= k - 1) {
30         ll w = 0,h = 0;
31         for(int i = 1; i <= k; i++) {
32             _data x = q.top();
33             q.pop();
34             w += x.w; h = max(h, x.h);
35         }
36         ans += w;
37         q.push((_data){w, h + 1});
38     }
39     printf("%lld\n%lld\n", ans, q.top().h);
40     return 0;
41 }

注意优先队列的顺序定义（重载＜运算符部分）！！！