BZOJ1087状压DP 解题报告

Posted 2020-08-14

1087: [SCOI2005]互不侵犯King

Description

　　在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

　　只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

　　方案数。

Sample Input

3 2

Sample Output

16

状态压缩DP第一道题。作为第一道题。其实对于我这种动态规划都是自学的人来说。难度很大。但是。研读各大神犇的标程和解析后。开始慢慢的明白了一些，所以这里给一句忠告。没什么啃不下来的东西，如果啃不下来，那就多啃一会。

说起动态规划。总是让我想起一系列问题。什么是状态，怎么转移，怎样决策。而这道题，好像没怎么用道决策。但是。什么是状态呢？怎么样在这道题实现转移。这是值得思考的。不思考是没有进步的。

而这道题让我们一眼就可以想到DFS暴力枚举，以每个节点开始。枚举接下来每个点的位置。用二维数组来模拟位置的摆放。DFS递归的其实可以打表出来。而这个方法潜在的状态是上一个点的“位置”。每次枚举的是“位置”。

这道题思考起来。关键：压缩。当发现是这种二维，而且DFS要炸的题。首先考虑压缩。降维？康托－压缩状态？。这里想到的是，以一层为一个状态元素。而我们知道这个状态有很多。因为最多就只有9*9，就9层。每一层有9个格子。那么我们可以提前预处理出来一层里面每一种正确的摆放方式，如果这种方式正确则打上标记。这里国王就只有摆或者不摆，很显然我们可以想到有可以用二进制来表示一层的状态，这样，一层就被我们压缩成一个数。一种可行性方案也被我们压成了一个数。

接下来的就是对于每一层进行递推。我们都已经把每一种情况枚举出来。考虑每两层之间的关系，DP转移就成了枚举两层的可能组合性，之后就是方案数的转移。

这里给出   F[i][q][j]   （一种状态）   其中这里的i代表层数，这里的j代表这一层如果是j这个状态。q代表着一层及其以上的所有放的国王数量。这里的j就指的是放的方式，举个栗子   j==85   那么那一层的方式就是 1010101(2)就是这样der。

枚举每两层方式。F [i] [q+cnt_1[a]]  [a] += F[i-1] [q] [j];这个意思就是，如果上一层的摆放方式为J，这一层的摆放方式为a 那么这一层放q＋（a方式的摆放国王的数量）的状态 是由 上一层摆放方式为j 摆放数量为q 的状态转移过来。（其中状态里存的是方案数）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int cnt[512],map_1[512][512],cnt_1[512];
long long int f[10][512][512];
int n,k,all;
int first()
{
    int s;
    for(int i=0;i<=all;i++)
	if(((i>>1)&i)==0)//注释1
	{
	    cnt[i]=1;
	    s=0;
	    for(int j=i;j;j>>=1)s+=(j&1);
	    cnt_1[i]=s;
	}
    for(int i=0;i<=all;i++)if(cnt[i])
	for(int j=0;j<=all;j++)if(cnt[j])
	    if( ((i&j)==0) && (((i>>1)&j)==0) && (((j>>1)&i)==0))
		map_1[i][j]=1;   //注释2
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    all=(1<<n)-1;
    first( );
    for(int i=0;i<=all;++i)if(cnt[i])f[1][cnt_1[i]][i]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    	for(int a=0;a<=all;++a)if(cnt[a])
	    for(int j=0;j<=all;++j)if(cnt[j])
		if(map_1[j][a])
		     for(int q=cnt_1[j];q+cnt_1[a]<=k;++q)   //注释3
		            f[i][q+cnt_1[a]][a]+=f[i-1][q][j];
    long long int ans=0;
    for(int i=0;i<=all;++i)ans+=f[n][k][i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

注释：

1,这里作用是判断是否这种状态是不是正确。

2,判断两种状态能不能出线在一起（上下层）

3,这里枚举q，因为每一层结合上一层还有这一层摆放的方式有很多，所以要考虑全面。

最重要的一条

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