BZOJ-3195奇怪的道路 状压DP （好题！）

Posted 2020-08-14 DaD3zZ

3195: [Jxoi2012]奇怪的道路

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Description

小宇从历史书上了解到一个古老的文明。这个文明在各个方面高度发达，交通方面也不例外。考古学家已经知道，这个文明在全盛时期有n座城市，编号为1..n。m条道路连接在这些城市之间，每条道路将两个城市连接起来，使得两地的居民可以方便地来往。一对城市之间可能存在多条道路。
据史料记载，这个文明的交通网络满足两个奇怪的特征。首先，这个文明崇拜数字K，所以对于任何一条道路，设它连接的两个城市分别为u和v，则必定满足1 <=|u - v| <= K。此外，任何一个城市都与恰好偶数条道路相连（0也被认为是偶数）。不过，由于时间过于久远，具体的交通网络我们已经无法得知了。小宇很好奇这n个城市之间究竟有多少种可能的连接方法，于是她向你求助。
方法数可能很大，你只需要输出方法数模1000000007后的结果。

Input

输入共一行，为3个整数n，m，K。

Output

输出1个整数，表示方案数模1000000007后的结果。

Sample Input

【输入样例1】
3 4 1
【输入样例2】
4 3 3

Sample Output

【输出样例1】
3

【输出样例2】
4
【数据规模】

HINT

100%的数据满足1<= n <= 30, 0 <= m <= 30, 1 <= K <= 8.
【题目说明】
两种可能的连接方法不同当且仅当存在一对城市，它们间的道路数在两种方法中不同。
在交通网络中，有可能存在两个城市无法互相到达。

Source

Solution

这是一道好题！

这个数据范围显然是可以状压的，但是有需要一些技巧。

设$f[i][j][k][l]$表示到第$i$号城市，连了$j+1$条边，当前$i-K$的城市的度数状态为$k$，准备练第$i$号城市到$i-K+l$号城市的方案数。

考虑转移$$f[i][j][k][l]+=\begin{Bmatrix}f[i][j][k][l+1]\\ f[i][j+1][kXOR(1<<K)XOR(1<<l)][l]\\ \end{Bmatrix}$$

第一种转移是不连边，第二种是连边的转移。

最后答案是$f[N+1][M][0][0]$

细节特别特别多！！！ 要看代码好好思考！！！

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define P 1000000007
int N,M,K,bin[10],f[32][31][1024][10];
int main()
{
    bin[0]=1; for (int i=1; i<=9; i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
    f[2][0][0][0]=1;
    for (int i=2; i<=N; i++)
        for (int j=0; j<=M; j++)
            for (int k=0; k<bin[K+1]; k++)
                {
                    for (int l=0; l<K; l++)
                        if (f[i][j][k][l])
                            {
                                (f[i][j][k][l+1]+=f[i][j][k][l])%=P;
                                if (i-K+l>0 && j<M) (f[i][j+1][k^bin[l]^bin[K]][l]+=f[i][j][k][l])%=P;
                            }
                    if (!(k&1) && f[i][j][k][K]) f[i+1][j][k>>1][0]=f[i][j][k][K];
                }
    printf("%d\n",f[N+1][M][0][0]);
    return 0;
}