bzoj3195: [Jxoi2012]奇怪的道路（状压dp）

Posted 2021-01-12 bztMinamoto

Description

小宇从历史书上了解到一个古老的文明。这个文明在各个方面高度发达，交通方面也不例外。考古学家已经知道，这个文明在全盛时期有n座城市，编号为1..n。m条道路连接在这些城市之间，每条道路将两个城市连接起来，使得两地的居民可以方便地来往。一对城市之间可能存在多条道路。
据史料记载，这个文明的交通网络满足两个奇怪的特征。首先，这个文明崇拜数字K，所以对于任何一条道路，设它连接的两个城市分别为u和v，则必定满足1 <=|u - v| <= K。此外，任何一个城市都与恰好偶数条道路相连（0也被认为是偶数）。不过，由于时间过于久远，具体的交通网络我们已经无法得知了。小宇很好奇这n个城市之间究竟有多少种可能的连接方法，于是她向你求助。
方法数可能很大，你只需要输出方法数模1000000007后的结果。

Input

输入共一行，为3个整数n，m，K。

Output

输出1个整数，表示方案数模1000000007后的结果。

Sample Input

【输入样例1】
3 4 1
【输入样例2】
4 3 3

Sample Output

【输出样例1】
3

【输出样例2】
4
【数据规模】

HINT

 

100%的数据满足1

<= n <= 30, 0 <= m <= 30, 1 <= K <= 8.

【题目说明】

两种可能的连接方法不同当且仅当存在一对城市，它们间的道路数在两种方法中不同。

在交通网络中，有可能存在两个城市无法互相到达。

 

我讨厌数数题……LadyLex大佬太强啦

因为$k$很小，我们考虑状压，而且因为奇偶是一种相反的概念，可以用$01$表示

我们可以用二进制数表示$i$可以转移到的所有数的奇偶性，但是那样的话有$2^{16}$种可能，太大了

然后发现我们其实只要考虑一边的状态就好了，另一边的状态可以在枚举到后面的时候再考虑

于是我们只要考虑第$i$个点以及前面的$k$个点就好了，然后再加一维表示我们考虑到了前面的第$l$个点

那么状态就设为$dp[i][j][u][l]$，表示考虑到第$i$个点，已经连了$j$条边，前$k$个点连边的奇偶性为$u$，且前$k$个点已经考虑到第$l$个点

然后我们考虑转移对于第$i-k+l$个点和第$i-k+l+1$个点，如果我们不再加边，可以直接转移，即$dp[i][j][u][l]$可以转移到$dp[i][j][u][l+1]$

然后如果在还合法的情况下加边，会同时改变两个点的奇偶性，也就会转移到$dp[i][j][u\\ xor\\ 2^k\\ xor\\ 2^l][l]$（状态里第$0$位代表左边第$k$个点，第$k$位表示点$i$）

然后考虑不同$i$之间的转移，如果要转移的话再也不会考虑到左边第$k$个点了，那么左边第$k$个点的奇偶性必须是偶数才行，即$u\\&1==0$

然后对于一个点$i$，它的下一个点的状态就是$l>>1$，所以直接转移

然后最后的答案就是$dp[n+1][m][0][0]$

 1 //minamoto
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define ll long long
 4 using namespace std;
 5 const int mod=1e9+7;
 6 int n,m,k,bin[20],dp[35][35][(1<<9)+5][11];
 7 int main(){
 8     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
 9     bin[0]=1;for(int i=1;i<=15;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1;
10     dp[2][0][0][0]=1;
11     for(int i=2;i<=n;++i) for(int j=0;j<=m;++j) for(int u=0;u<bin[k+1];++u){
12         for(int l=0;l<k;++l)
13         if(dp[i][j][u][l]){
14             (dp[i][j][u][l+1]+=dp[i][j][u][l])%=mod;
15             if(j<m&&i-k+l>0)
16             (dp[i][j+1][u^bin[k]^bin[l]][l]+=dp[i][j][u][l])%=mod;
17         }
18         if((u&1)==0&&dp[i][j][u][k])
19         dp[i+1][j][u>>1][0]=dp[i][j][u][k];
20     }
21     printf("%d\\n",dp[n+1][m][0][0]);
22     return 0;
23 }