数论之旅6---组合数（组合大法好(,,? ? ?,,) ）

Posted 2020-06-14

组合数并不陌生(´?ω?`)

我们都学过组合数

 

会求组合数吗

 

一般我们用杨辉三角性质

第n行，第m个就是，就是C(n, m) （从0开始）

 

电脑上我们就开一个数组保存，像这样

 

 

 

用递推求

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 2000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
 5 void init(){
 6     for(int i = 0; i < N; i ++){
 7         comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
 8         for(int j = 1; j < i; j ++){
 9             comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
10             comb[i][j] %= MOD;
11         }
12     }
13 }
14 int main(){
15     init();
16 }

 

这种方法的复杂度是O(n^2)，有没有O(n)的做法，当然有(´?ω?`)

 

因为大部分题都有求余，所以我们大可利用逆元的原理（没求余的题目，其实你也可以把MOD自己开的大一点，这样一样可以用逆元做）

 

根据这个公式

我们需要求阶乘和逆元阶乘

 

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 200000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int F[N], Finv[N], inv[N];//F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
 5 void init(){
 6     inv[1] = 1;
 7     for(int i = 2; i < N; i ++){
 8         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
 9     }
10     F[0] = Finv[0] = 1;
11     for(int i = 1; i < N; i ++){
12         F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
13         Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
14     }
15 }
16 int comb(int n, int m){//comb(n, m)就是C(n, m) 
17     if(m < 0 || m > n) return 0;
18     return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
19 }
20 int main(){
21     init();
22 }

 

 

组合大法好，要懂得善加利用(。-`ω´-)