数论--组合数

Posted 2020-10-09 东流vip

如果只是求一个组合数，当然可以直接用这个公式，用循环来实现，注意不要溢出，可以边乘边除

但是如果要求求很多个组合数呢？？

一般我们用杨辉三角性质

杨辉三角上的每一个数字都等于它的左上方和右上方的和（除了边界）

 

第n行，第m个就是，就是C(n, m) （从0开始）

容易实现：

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 2000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
 5 void init(){
 6     for(int i = 0; i < N; i ++){
 7         comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
 8         for(int j = 1; j < i; j ++){
 9             comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
10             comb[i][j] %= MOD;
11         }
12     }
13 }
14 int main(){
15     init();
16 }

时间复杂度为O(n^2)

 

因为大部分题都有求余，所以我们大可利用逆元的原理（没求余的题目，其实你也可以把MOD自己开的大一点，这样一样可以用逆元做）（逆元还记得吧，前面提到的！！！）

我们需要求阶乘和逆元阶乘

 我们就用1e9+7来求余吧

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 200000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int F[N], Finv[N], inv[N];    //F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
 5 void init(){
 6     inv[1] = 1;
 7     for(int i = 2; i < N; i ++){
 8         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;   //求逆元 
 9     }
10     F[0] = Finv[0] = 1;
11     for(int i = 1; i < N; i ++){
12         F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
13         Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
14     }
15 }
16 int comb(int n, int m){    //comb(n, m)就是C(n, m) 
17     if(m < 0 || m > n) return 0;
18     return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
19 }
20 int main(){
21     init();
22     printf("%d\\n",comb(5,2)); 
23 }

 

看一个性质

C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!);

C(n,k-1)=n!/((k-1)!*(n-k+1)!);

那么，C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k

所以C(n,k)=(n-k+1)/k*C(n,k-1);

这样，就可以从C（n,0）=1开始从左往右推，得到所有C（n,k）

当碰到大组合数的时候，就要用到这个性质了！

 

卢卡斯说：

C(n, m) % p  =  C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p

对于C(n / p, m / p)，如果n / p 还是很大，可以递归下去，一直到世界的尽头

这就是卢卡斯定理！

在下卢卡斯...

 

上代码：

 1 #include<cstdio>
 2 
 3 typedef long long LL ;
 4 const int N = 200000 + 5;
 5 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 6 int F[N], Finv[N], inv[N];    //F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
 7 void init(){
 8     inv[1] = 1;
 9     for(int i = 2; i < N; i ++){
10         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;   //求逆元 
11     }
12     F[0] = Finv[0] = 1;
13     for(int i = 1; i < N; i ++){
14         F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
15         Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
16     }
17 }
18 int comb(int n, int m){    //comb(n, m)就是C(n, m) 
19     if(m < 0 || m > n) return 0;
20     return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
21 }
22 
23 LL Lucas(LL n, LL m, int p){
24     return m ? Lucas(n/p, m/p, p) * comb(n%p, m%p) % p : 1;
25 }
26 int main(){
27     init();
28     printf("%lld\\n",Lucas(5,2,8)); //C(5，2)%8
29 }

Over..