乘法逆元及其应用

Posted 2020-06-14

　　满足 a * k ≡ 1 (mod p) 的k 叫做 a关于p的乘法逆元。另一种表达方法是 k ≡ a^-1 (mod p)

逆元在密码学中有广泛应用，AES密码体系的字节替代就是运用了逆元。（不知道说的smg）

应用：

我们知道(a+b)%p=(a%p+b%p)%p

　　　　(a*b)%p=(a%p)*(b%p)%p

而求(a/b)%p时，可能会因为a是一个很大的数，不能直接算出来，却又不能(a/b)%p=(a%p/b%p)%p。

但是可以通过 k ≡ b^-1 (mod p) 

a / b

= a * b^-1 (mod p )

= (a mod p ) * (b^-1 mod p )  mod p

 

= (a mod p ) * (k mod p )  mod p

= a * k mod p

转换为a*k % p 的问题，然后a是一个加减乘的式子，就可以用上面两个取余公式了。