费马小定理及其应用

Posted 2020-12-30 aininot260

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）

也就是a^(p-1) %p=1

据说它是欧拉定理的一种特殊情况，也就是

比较神奇，据说很出名很出名很出名

先回顾一下乘法逆元

x的最小整数解称为a模m的逆元

如果这个m是个质数，那么费马小定理就派上用场喽

这个时候x的最小整数解是

推导过程：

只可意会不可言传的样子。

例题是HDU4704，题意是：求1-n中，组成n的不同种数

用隔板法思考，在n个1里面插隔板有几种插法

结果是2^(n-1)

然后呢？就是计算它了，质数的范围是1e6,那么好，按题意取模

也就是求2^(n-1)%mod

费马小定理a^b%c=a^(b%(c-1))%c

使用的前提是mod是个质数

对于任意自然数，当要求a^p%m时，就可以利用费马小定理化简，只需求(a^(p%(m-1)))%m(p是素数)

记住这句话，题目就很显然了

我们将n拆成多个 a*(p-1) + k ，也就是2^n = 2^[a*(p-1) + k ] % mod = 2^k % mod

在这里p直接等于mod，就那么中括号的左半部分因为费马小定理就化没了，只剩下个k

要求的是2^(n-1)，计算出k后，减一直接快速幂即可

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 const long long MOD=1000000007;
 5 char s[1000005];
 6 long long cal(long long m)
 7 {
 8     int len=strlen(s);
 9     long long ans=0;
10     for(int i=0;i<len;i++)
11         ans=(ans*10+s[i]-‘0‘)%m;
12     return ans;
13 }
14 long long pow_mod(long long a,long long b)
15 {
16     long long ans=1;
17     while(b!=0)
18     {
19         if(b&1) ans=ans*a%MOD;
20         a=a*a%MOD;
21         b>>=1;
22     }
23     return ans;
24 } 
25 int main()
26 {
27     while(scanf("%s",s)==1)
28     {
29         long long k=cal(MOD-1);
30         printf("%lld
",pow_mod(2,k-1));
31     }
32     return 0;
33 }