欧拉定理及其应用

Posted 2020-12-30 aininot260

若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 
特别的φ（1）=1

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况

之前介绍的费马小定理是用来化简幂取模运算的，欧拉定理同样可以做到：

a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)

这样就可以了

之前的费马小定理是让指数部分模一个p-1

然后这里是让指数部分模一个欧拉函数φ（m）其实一个意思

看一道例题，HDU1395

2^x mod n = 1，或者写成 2^x ≡ 1 (mod n) 

求x

然后发现n为偶数或者是n为0时无解，答案必定是一个奇数

然后根据欧拉定理：

欧拉定理:a^(euler_phi(n))≡1(mod n),(a,n互质)

其中euler_phi为欧拉函数，计算不超过n且与n互质的个数

求法是n*∏(pi-1)/pi,pi为n的质因子

这里可以表示为：m=euler_phi(n)

所以a^m%mod=1

不过m不一定是最小循环节，但m是一个循环节，则最小循环节必定是m的一个因子

因而找出所有m的因子，暴力搜索下就好了

其实这个的重点是求欧拉函数，欧拉函数也是有类似于埃式筛法的计算方法的

 1 //2^x mod n = 1
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 long long t,mod;
 7 long long e[1005];
 8 long long euler_phi(long long n)
 9 {
10     long long m=sqrt(n+0.5);
11     long long ans=n;
12     for(int i=2;i<=m;i++)
13     {
14         if(n%i==0)
15         {
16             ans=ans/i*(i-1);
17             while(n%i==0) n=n/i;
18         }
19     }
20     if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
21     return ans;
22 }
23 void find(long long n)
24 {
25     e[t++]=n;
26     for(int i=2;i*i<=n;i++)
27     {
28         if(n%i==0)
29         {
30             if(i*i==n) e[t++]=i;
31             else
32             {
33                 e[t++]=i;
34                 e[t++]=n/i;
35             }
36         }
37     }
38 }
39 long long pows(long long a,long long b)
40 {
41     long long s=1;
42     while(b!=0)
43     {
44         if(b&1) s=(s*a)%mod;
45         a=(a*a)%mod;
46         b=b>>1;
47     }
48     return s;
49 }
50 int main()
51 {
52     long long n;
53     while(scanf("%lld",&n)==1)
54     if(n%2==0||n==1)
55         printf("2^? mod %d = 1
",n);
56     else
57     {
58         long long m,ans;
59         m=euler_phi(n);
60         t=0;
61         find(m);
62         sort(e,e+t);
63         mod=n;
64         for(int i=0;i<t;i++)
65         {
66             if(pows(2,e[i])==1)
67             {
68                 ans=e[i];
69                 break;
70             }
71         }
72         printf("2^%d mod %d = 1
",ans,n);
73     }
74     return 0;
75 }

 再回过头来对比一下欧拉定理和费马小定理

费马小定理要求模数p必须是个质数，且a和p互质：a^(p-1) ≡1（mod p）

欧拉定理只要求a和m互质即可：a^φ(m)≡1(mod m)