欧拉定理及其证明
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧拉定理及其证明相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
我真的很逊，所以有错也说不定。
这篇很简，所以看不懂也说不定。
总觉得小满哥讲过这个证明，虽然身为老年健忘选手我大概是不记得什么了。。
欧拉定理：\(a^\varphi(n) \equiv 1 \ (mod \ n)\) ，其中 \((a,n) = 1\)
费马小定理：\(a^p-1 \equiv 1 \ (mod\ p)\) ，其中 \((a,p) = 1\) ，容易发现是欧拉定理的一种特殊情况。
欧拉定理证明：（同余式默认模 \(n\)）
设 \(X_1,X_2,...,X_\varphi(n)\) 是 \(1\) 到 \(n\) 里与 \(n\) 互质的数，容易发现它们模 \(n\) 两两不同，且余数都与 \(n\) 互质（废话，因为模了之后还是原数嘛）
然后我们发现 \(aX_1,aX_2,...,aX_\varphi(n)\) 好像也有如上两个性质。。
模 \(n\) 两两不同：反证，若 \(aX_i \equiv aX_j \ (mod\ n)\) ，则 \(aX_i-aX_j \equiv 0\) ，则 \(a(X_i-X_j) \equiv 0\) ，由于 \(a\) 与 \(n\) 互质 ，\(X_i-X_j\) 不可能是 \(n\) 的倍数，所以模 \(n\) 一定不为 \(0\)
余数都与 \(n\) 互质：\(a\) 与 \(n\) 互质，\(X_i\) 与 \(n\) 互质，所以 \(aX_i\) 也 与 \(n\) 互质 （这很感性理解orz）
有了这两个性质，我们就可以发现 \(aX_1,aX_2,...,aX_\varphi(n)\) 模 \(n\) 后一定是 \(\varphi(n)\) 个不同的与 \(n\) 互质的数，那不就肯定是 \(X_1,X_2,...,X_\varphi(n)\) 这个集合。
所以得到 \[X_1 \cdot X_2 ...X_\varphi(n) \equiv aX_1 \cdot aX_2 ...aX_\varphi(n)\ (mod\ n)\]
\[\Rightarrow 1 \equiv a^\varphi(n)\ (mod\ n)\]
\(QED.\)
以上是关于欧拉定理及其证明的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章