初等数论及其应用——欧拉函数

Posted 2020-08-07 黑大帅之家

  欧拉函数这里理论性非常强，它与费马小定理、剩余系、素数分解定理联系，能够推导出一系列的定理。

 

 

 

 

    计算phi(n)的编码实现：

  

 #include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;

int phi(int n)
{
      int rea = n;
        for(int i = 2;i*i <=n;i++)

             if(n%i == 0)
             {
                 rea = rea - rea/i;
                 do
                    n /= i;
                 while(n%i == 0);
             }
             if(n > 1)
                  rea = rea - rea/n;
             return rea;

}

int main()
{
       int n;
       while(cin >> n && n)
       {
                  cout << phi(n) << endl;
       }
       return 0;
}

  计算区间[1,n]上欧拉函数值的和phi(2)+phi(3)+…+phi(n)：

  当n取得较大整数时，如果用上文求单个整数的欧拉函数值然后相加，耗时太多，这里对于求区间欧拉函数值的和，有一个类似Eratosthenes筛法的优化。

  那么这里我们就像筛选素数那样，得到一个素数然后设置第二层循环记录这个素数整数倍的整数的“不完整欧拉值”，当该整数所有的素因子都遍历到，欧拉值便更新到真实值。

 

#include <cstdio> //O(nloglogn)
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

const int SIZE = 1000000 + 5;
int phi[SIZE];

void init()
{
    int i, j;
    memset(phi, 0, sizeof(phi));
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < SIZE; i++) if(!phi[i])
    {
        for(j = i; j < SIZE; j+=i)
        {
            if(!phi[j]) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
        }
    }

}

int main()
{
    init();
    int n;

   while(scanf("%d",&n)!=EOF && n)
   {
              long long sum = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
               sum += phi[i];
        }
        printf("%lld\\n",sum);
   }

}

  应用1：既约真分数（poj 2478）.

  给出整数n，让你求解分母小于n的所有既约真分数的个数。

  分析：首先我们要搞懂什么是既约真分数，简单来说，就是小于1的最简分数。那么我们很容易将其与欧拉函数联系起来，因为对于一个分母为n的既约真分数的个数，实际上就是phi(n)，那么这个问题本质上就是求解phi(2)+...+phi(n).

 

  应用2：精简打表数据.(uva 10820)

  有一道比赛题目，输入两个整数x、y(均小于等于n)，输出某个函数值f(x,y)，一位选手想打表，但是如果全部打出来的话会造成内存超限，需要精简。

  这道题目可以通过f(x,y)计算出f(kx,ky)，k是任意正整数，这样很多结果就不需要放在表中了。

  分析：通过“f(x,y)计算f(x,y)”这个题设条件，我们就能够将其联想到欧拉函数。最终表中存的二元组(x,y)只要互素，就能够保证表中不存在任何“赘余(即可由表中的另外某组数据计算得来)”数据.

  假设x>y,那么我们枚举x=2、3、…、n,二元组的数量应该是phi(2)+…+phi(n)，由对称性，最终结果应该乘2，而且不要忘记了(1,1)这个特殊情况。

  最终结果应该是2(phi(2)+…+phi(n)) + 1.

 

 

  应用3：公约数之和(uva 11426)

  给出整数n∈[2,4000000],求解∑gcd(i,j),其中(i,j)满足1≤i＜j≤n.

  分析：

 

 

  应用4：阶乘的欧拉函数值(uva 11440)。

  给出整数n , m，n∈[2,10^7],n≥m≥1，n-m≤10^5.那么请问[2,N!]有多少个x满足下列的性质,x的所有素因子都大于M.

  分析：

 

 

  参考代码如下：

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

const int maxn = 10000000 + 5;
const int MOD = 100000007;

int vis[maxn] , phifac[maxn];

void gen_primes(int n) {
  int m = (int)sqrt(n+0.5);
  int c = 0;
  memset(vis, 0, sizeof(vis));
  for(int i = 2; i <= m; i++) if(!vis[i]){
    for(int j = i*i; j <= n; j+=i) vis[j] = 1;
  }
}

int main()
{
       int n , m;
       gen_primes(maxn);


       phifac[1] = phifac[2] = 1;
       for(int i = 3;i < maxn;i++)
             phifac[i] = ((long long)phifac[i-1] *(vis[i] ? i : i - 1)) %MOD;//题设给出取余运算MOD，中间过程一定要小心不要溢出。

       while(scanf("%d%d",&n , &m) && n)
       {
             int ans = phifac[m];

             for(int i = m + 1;i <= n;i++)  ans = (long long)ans*i%MOD;

             printf("%d\\n",(ans - 1 + MOD)%MOD);

       }
       return 0;
}