算法描述》LCA两三事（蒟蒻向）

Posted 2020-08-12

　　LCA是图论中常用的解决树形结构子问题的工具，这一问题一般需要用一个简短的子函数直接解决，但是这对于广大蒟蒻们仍然是一个不小的问题。

　　LCA是指在树形结构中两点的最近公共祖先，对于这个问题，直接向上找事最直接的方法，但同时时间复杂度和数据给出的生成树的层数有关，最优情况是logN级别的，但是如果数据给出的是一条链就GG了，所以要用更优的方法写，一般来说，用的是log²N的操作，最糟糕的复杂度也是logN级别的，那如何实现这一过程捏，我这里有两种方法，和大家分享

　　第一种：树上倍增

　　具体方法是对于已经预处理好的f[i][j]数组来实现这一过程，预处理具体过程如下

1 for(int j=1;j<=n;++j)
2     f[0][j]=father[j];
3 for(int i=1;i<=20;++i)
4     for(int j=1;j<=n;++j)
5         f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];

　　这段代码需要稍加理解，f[i][j]表示第j个点的2的 i次方的父亲节点。因为一般数据给的不会特别大，所以在 i 的那重循环里，只要到20就够了，因为这是指数级的操作。

　　这个预处理是常数级的O(N)，只不过常数比较大。

　　那么预处理结束后，我们接下来的操作就应该是对于每一组要求LCA的两个数，直接扔进子程序判断

　　子程序如下

　　

 1 int LCA(int x,int y)
 2 {
 3     if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
 4     for(int i=20;~i;--i)
 5     if(dep[f[i][y]]>dep[x])y=f[i][y];
 6     if(y==x)return x;
 7     for(int i=20;~i;--i)
 8     if(f[i][y]!=f[i][x])y=f[i][y],x=f[i][x];
 9     return f[0][x];
10 }

 　　这个子程序很简洁明了，只要会二进制拆分就很好理解，在第3行到第6行写的是输入的两点属于祖先与子孙关系，这时我们只要找一边的祖先节点就好啦；如果这两点属于不同子树，那就缩为同一深度。

　　第7到第9行，代表两节点属于两颗子树这时只要不停的趋近就好了，因为我们的判断条件，所以在最后必须输出一个缩后点的父亲节点。

　　第二种：欧拉序列

　　这是一种更优的写法，主要思路是先将一颗树按欧拉序列处理，然后在每次对欧拉序列中这两点之间的点做一遍RMQ，RMQ的关键字是最小深度。

　　但是这种写法较为复杂（我懒），所以代码没有给出，但是只要会RMQ的话这应该就是个较为简单的问题了。

　　算法效率分析

　　这种方法无论从时间复杂度还是空间复杂度来说都比树上倍增优，但事实上由于树上倍增极小的常数，所以这两个算法在时间复杂度上是相似的，但是在空间上来说欧拉序列更优，从另一个方面来说，树上倍增不仅可以求LCA，还可以顺便求一个路径最大权边之类的问题，并且编程复杂度优，所以一般来说树上倍增是比较常用的。

　　有一道半模板题

　　BZOJ3732