洛谷P2365 任务安排 [解法一]

Posted 2020-08-12 SilverNebula

 

题目描述

N个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这N个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。从时刻0开始，这些任务被分批加工，第i个任务单独完成所需的时间是Ti。在每批任务开始前，机器需要启动时间S，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数Fi。请确定一个分组方案，使得总费用最小。

例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。如果分组方案是{1,2}、{3}、{4,5}，则完成时间分别为{5,5,10,14,14}，费用C={15,10,30,42,56}，总费用就是153。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行是N(1<=N<=5000)。

第二行是S(0<=S<=50)。

下面N行每行有一对数，分别为Ti和Fi，均为不大于100的正整数，表示第i个任务单独完成所需的时间是Ti及其费用系数Fi。

 

输出格式：

 

一个数，最小的总费用。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4

输出样例#1：

153

 

设f[i]=最小花费。

由于不知道机器会启动多少次，所以难以计算时间。

考虑“提前计算”：如果i~j-1是同一批，那么i之后的任务都会因为“完成i~j-1占用时间”而
产生费用，所以可以把处理i~j-1消耗的时间对后边任务造成的费用影响先算上。

解法一：

根据上述，可以列出动规方程：dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(sumf[i]-sumf[j])*sumt[i]+s*(sumf[n]-sumf[j]) )

（sumf和sumt分别是题目中f、t的前缀和） 方程中s*(sumf[n]-sumf[j])提前计算了后面的任务受到本次任务的影响。

这是一个O(n^2)的解法。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<queue>
 6 #include<cstring>
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=6000;
 9 int n;
10 int s;
11 int t[mxn],f[mxn];
12 int sumt[mxn],sumf[mxn];
13 int dp[mxn];
14 int main(){
15     scanf("%d%d",&n,&s);
16     int i,j;
17     for(i=1;i<=n;i++){
18         scanf("%d%d",&t[i],&f[i]);
19         sumt[i]=sumt[i-1]+t[i];
20         sumf[i]=sumf[i-1]+f[i];
21     }
22     memset(dp,0x3f,sizeof dp);
23     dp[0]=0;
24     for(i=1;i<=n;i++)
25      for(j=0;j<i;j++){
26 //         printf("test:%d\n",dp[j]+(sumf[i]-sumf[j])*sumt[i]+s*(sumf[n]-sumf[j]));
27          dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(sumf[i]-sumf[j])*sumt[i]+s*(sumf[n]-sumf[j]) );
28      }
29     printf("%d",dp[n]);
30     return 0;
31 }

 

“教练，我想跑得更快！”

“你去香港当记者吧”（误）

 

解法二：斜率优化