BZOJ2818: Gcd

Posted 2020-08-12

传送门

算是一道比较基础的数论题，可以用莫比乌斯反演写也可以用欧拉函数写。

莫比乌斯反演

推导过程：

不妨设$f(x)$表示对于$i\\in[1,N],j\\in[1,N]$且$gcd(i,j)==x$，即$f(x)=\\sum\\limits_{i=1}^N\\sum\\limits_{j=1}^N[gcd(i,j)==x]$

不妨设$g(x)$表示对于$i\\in[1,N],j\\in[1,N]$且$gcd(i,j)==kx$则显然$g(x)=(\\lfloor \\frac{N}{x} \\rfloor)^2$

那么显然$g(x)=\\sum\\limits_{k=1}^{\\lfloor \\frac{N}{x} \\rfloor}f(k \\times x)$

根据莫比乌斯反演，可以得到$f(x)=\\sum\\limits_{k=1}^{\\lfloor \\frac{N}{x} \\rfloor}g(k \\times x)\\mu (k)$

然后线筛预处理出莫比乌斯函数就能够得到本题答案。

 1 //BZOJ 2818
 2 //by Cydiater
 3 //2016.8.16
 4 #include <iostream>
 5 #include <cstring>
 6 #include <string>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <queue>
 9 #include <map>
10 #include <cstdio>
11 #include <cstdlib>
12 #include <iomanip>
13 #include <ctime>
14 #include <cmath>
15 using namespace std;
16 #define ll long long
17 #define up(i,j,n)       for(ll i=j;i<=n;i++)
18 #define down(i,j,n)     for(ll i=j;i>=n;i--)
19 const ll MAXN=1e7+5;
20 const ll LIM=10000000;
21 const int oo=0x3f3f3f3f;
22 inline ll read(){
23       char ch=getchar();ll x=0,f=1;
24       while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
25       while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
26       return x*f;
27 }
28 ll N,prime[MAXN],cnt=0,mu[MAXN],ans=0;
29 bool vis[MAXN];
30 namespace solution{
31       void Mobius(){
32             memset(vis,0,sizeof(vis));
33             mu[1]=1;
34             up(i,2,LIM){
35                   if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
36                   up(j,1,cnt){
37                         if(i*prime[j]>LIM)break;
38                         vis[i*prime[j]]=1;
39                         if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
40                         else  mu[i*prime[j]]=-mu[i];
41                   }
42             }
43       }
44       void slove(){
45             up(i,1,cnt){
46                   if(prime[i]>=N)break;
47                   ll t=N/prime[i];
48                   int pos;
49                   up(j,1,t)ans+=mu[j]*(t/j)*(t/j);
50             }
51             cout<<ans<<endl;
52       }
53 }
54 int main(){
55       //freopen("input.in","r",stdin);
56       using namespace solution;
57       Mobius();N=read();
58       slove();
59       return 0;
60 }

Mobius

 欧拉函数

换成欧拉函数就很好理解了，不给推导过程了，最后的答案是：

$ans=\\sum\\limits^{p_i\\in Prime}(\\sum\\limits_{i=1}^{\\lfloor \\frac{N}{p_i} \\rfloor} \\phi (i))\\times 2 -1$

//BZOJ 2818
//by Cydiater
//2016.9.30
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)        for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)        for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=1e7+5;
const int LIM=1e7;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
    char ch=getchar();ll x=0,f=1;
    while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}    
ll prime[MAXN],cnt=0,phi[MAXN],N,ans=0;
bool vis[MAXN];
namespace solution{
    void pret(){
        phi[1]=1;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        up(i,2,LIM){
            if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}
            up(k,1,cnt){
                if(prime[k]*i>LIM)break;
                vis[prime[k]*i]=1;
                if(i%prime[k]==0){phi[i*prime[k]]=phi[i]*prime[k];break;}
                else                phi[i*prime[k]]=phi[i]*phi[prime[k]];
            }
        }
        up(i,1,LIM)phi[i]+=phi[i-1];
    }
    void slove(){
        up(i,1,cnt){
            if(prime[i]>N)break;
            ans+=phi[N/prime[i]]*2-1;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}
int main(){
    //freopen("input.in","r",stdin);
    using namespace solution;N=read();
    pret();
    slove();
    return 0;
}

Phi