bzoj 2818: Gcd

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj 2818: Gcd相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

2818: Gcd

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB

Description

给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

 

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

 

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)


1<=N<=10^7

Source

湖北省队互测

 

gcd(x,y)=p,则gcd(x/p,y/p)=1

法一:欧拉函数

枚举每个素数p,那么该素数p对答案的贡献为[1,n/p]中的有序互质对的个数

求[1,m]中有序互质对(i,j)的个数:

令j>=i

当i=j时,只有i=j=1互质;

当i<j时,确定j后,互质的个数为φ(j);

所以[1,m]中有序互质对个数=(Σ φ(j))*2-1

                                         j 

所以,欧拉筛筛出欧拉函数,求前缀和sum

ans=    Σ   sum[n/p]*2-1

       p为素数,p<=n

 耗时:980ms

技术分享
#include<cstdio>
#define N 10000001
int prime[N],cnt,phi[N];
long long ans,sum[N];
bool v[N];
int n;
void euler()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            v[i]=true;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]*i>n) break;
            v[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    euler();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=sum[n/prime[i]]*2-1;
    printf("%lld",ans);
}
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法二、莫比乌斯函数

枚举每个素数p,那么该素数p对答案的贡献为[1,n/p]中的有序互质对的个数

求[1,m]中有序互质对(i,j)的个数:

推个式子

     n     m

  Σ     Σ    [gcd(a,b)]
  a=1 b=1

=   Σ     Σ   e(gcd(a,b))
    a=1 b=1

=  Σ      Σ   1*μ(gcd(a,b))
   a=1  b=1

= Σ        Σ       Σ   μ(d)
   a=1   b=1   d\gcd(a,b)

= Σ    Σ      Σ   μ(d)
   d   d\a ’  d\b ’

=Σ μ(d)floor(n/d)floor(m/d)
  d

注:[n]表示若n=1,[n]=1,否则[n]=0

      floor表示下取整

所以枚举每个素数p,

对每个素数p,都求一个si=Σ μ(j)floor(n/p/j)floor(n/p/j)

                                  j

      素数个数                  

ans=Σ si

       i   

耗时:2720ms

技术分享
#include<cstdio>
#define N 10000001
using namespace std;
bool v[N];
int n,cnt;
long long ans,prime[N],mul[N];
void mobius()
{
    mul[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i]) 
        {
            v[i]=true;
            prime[++cnt]=i;
            mul[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]*i>n) break;
            v[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mul[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mul[i*prime[j]]=-mul[i];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    mobius();
    for(int i=1;i<=cnt;i++) 
     for(int j=1;j<=n/prime[i];j++)
      ans+=mul[j]*(n/prime[i]/j)*(n/prime[i]/j);
    printf("%lld",ans);
}
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以上是关于bzoj 2818: Gcd的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

BZOJ 2818 Gcd(莫比乌斯反演)

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