bzoj 2818: Gcd
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2818: Gcd
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MBDescription
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.
Input
一个整数N
Output
如题
Sample Input
Sample Output
HINT
hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7
Source
gcd(x,y)=p,则gcd(x/p,y/p)=1
法一:欧拉函数
枚举每个素数p,那么该素数p对答案的贡献为[1,n/p]中的有序互质对的个数
求[1,m]中有序互质对(i,j)的个数:
令j>=i
当i=j时,只有i=j=1互质;
当i<j时,确定j后,互质的个数为φ(j);
所以[1,m]中有序互质对个数=(Σ φ(j))*2-1
j
所以,欧拉筛筛出欧拉函数,求前缀和sum
ans= Σ sum[n/p]*2-1
p为素数,p<=n
耗时:980ms
#include<cstdio> #define N 10000001 int prime[N],cnt,phi[N]; long long ans,sum[N]; bool v[N]; int n; void euler() { phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!v[i]) { prime[++cnt]=i; v[i]=true; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=cnt;j++) { if(prime[j]*i>n) break; v[prime[j]*i]=true; if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } } int main() { scanf("%d",&n); euler(); for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i]; for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=sum[n/prime[i]]*2-1; printf("%lld",ans); }
法二、莫比乌斯函数
枚举每个素数p,那么该素数p对答案的贡献为[1,n/p]中的有序互质对的个数
求[1,m]中有序互质对(i,j)的个数:
推个式子
n m
Σ Σ [gcd(a,b)]
a=1 b=1
= Σ Σ e(gcd(a,b))
a=1 b=1
= Σ Σ 1*μ(gcd(a,b))
a=1 b=1
= Σ Σ Σ μ(d)
a=1 b=1 d\gcd(a,b)
= Σ Σ Σ μ(d)
d d\a ’ d\b ’
=Σ μ(d)floor(n/d)floor(m/d)
d
注:[n]表示若n=1,[n]=1,否则[n]=0
floor表示下取整
所以枚举每个素数p,
对每个素数p,都求一个si=Σ μ(j)floor(n/p/j)floor(n/p/j)
j
素数个数
ans=Σ si
i
耗时:2720ms
#include<cstdio> #define N 10000001 using namespace std; bool v[N]; int n,cnt; long long ans,prime[N],mul[N]; void mobius() { mul[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!v[i]) { v[i]=true; prime[++cnt]=i; mul[i]=-1; } for(int j=1;j<=cnt;j++) { if(prime[j]*i>n) break; v[prime[j]*i]=true; if(i%prime[j]==0) { mul[i*prime[j]]=0; break; } else mul[i*prime[j]]=-mul[i]; } } } int main() { scanf("%d",&n); mobius(); for(int i=1;i<=cnt;i++) for(int j=1;j<=n/prime[i];j++) ans+=mul[j]*(n/prime[i]/j)*(n/prime[i]/j); printf("%lld",ans); }
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