BZOJ 2818: Gcd

Posted 2020-08-24 NeighThorn

Dirichlet卷积，欧拉函数的应用

2818: Gcd

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Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

 

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

 

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

 

Source

湖北省队互测

分析：

枚举质数，然后问题转化为了gcd(x,y)=i的数对个数...

我只能想到这里了...QAQ还是我水...交完发现自己的跑的很慢...上榜的都是1s以内跑完的，我跑了5s...

看hzwer的blog发现还有复杂度更低的做法...

以下摘自hzwer的blog...

枚举每个素数，然后每个素数p对于答案的贡献就是（1 ~ n / p） 中有序互质对的个数
而求1~m中有序互质对x，y的个数，可以令y >= x, 当y = x时，有且只有y = x = 1互质，当y > x时，确定y以后符合条件的个数x就是phiy
所以有序互质对的个数为（1 ~ n/p）的欧拉函数之和乘2减1（要求的是有序互质对，乘2以后减去（1， 1）多算的一次）
那么就只需要先筛出欧拉函数再求个前缀和就可以了

巨机啊...还是我太水了TAT...

代码：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 //by NeighThorn
 5 using namespace std;
 6 //大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
 7 
 8 const int maxn=10000000+5;
 9 
10 int n,cnt,vis[maxn],miu[maxn],prime[maxn];
11 
12 long long ans=0;
13 
14 signed main(void){
15     scanf("%d",&n);miu[1]=1;cnt=0;
16     for(int i=2;i<=10000000;i++){
17         if(!vis[i])
18             vis[i]=1,prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
19         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=10000000;j++){
20             vis[i*prime[j]]=1;
21             if(i%prime[j]==0){
22                 miu[i*prime[j]]=0;break;
23             }
24             miu[i*prime[j]]=-miu[i];
25         }
26     }
27     for(int i=2;i<=10000000;i++)
28         miu[i]+=miu[i-1];
29     for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=n;i++){
30         int lala=n/prime[i];
31         for(int d=1,r;d<=lala;d=r+1){
32             r=lala/(lala/d);
33             if(r>lala)
34                 r=lala;
35             ans+=(long long)(miu[r]-miu[d-1])*(lala/d)*(lala/d);
36         }
37     }
38     printf("%lld\\n",ans);
39     return 0;
40 }

View Code

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