poj3764 The xor-longest Path
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[http://poj.org/problem?id=3764] (题目链接)
今天的考试题,看到异或就有点虚,根本没往正解上想。。
题意:给出一棵带权树,请找出树上的一条路径,使其边上权值的异或和最大。
solution
首先我们考虑从根向下dfs,记录下每个点i到根上权值的异或和val[i]。根据异或和的性质:x^y^y=x。所以我们可以由val[]数组两两组合得出树上任意两点之间路径的异或和。(不理解请自己脑补OvO)
然而这样对于时间复杂度并没有提高,仍然需要枚举两点。所以我们考虑从异或这个运算的本质下手。要使两个数的异或和尽可能大,那么这两个数的二进制高位的数就要尽可能不同。其实这是贪心思想,对于每一个val[i],我们把它拆成二进制数,由高位向低位,尽可能使当前位上的数与val[i]当前位上的数不同(这样对答案的贡献最大)。
对于这样一个算法,我们可以用trie树维护。根据深度建树30层,每一个节点的儿子就是0和1,表示有没有一个val[i]在这一位存在0或1。这样就很好的解决了问题。复杂度O(n*30)。
代码:
// poj3764 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #define MOD 1000000007 #define inf 2147483640 #define LL long long #define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout); using namespace std; const int maxn=100010; struct edge {int to,next,w;}e[maxn<<1]; int vis[maxn],val[maxn],m[maxn],tr[maxn<<4][2],head[maxn],cnt,n; void dfs(int u,int w) { vis[u]=1; for (int i=head[u];i;i=e[i].next) if (!vis[e[i].to]) dfs(e[i].to,w^e[i].w); val[u]=w; } void insert(int x) { int u=0; for (int i=30;i>=0;i--) { int k=x&m[i];k>>=i; if (!tr[u][k]) tr[u][k]=++cnt; u=tr[u][k]; } } int main() { m[0]=1; for (int i=1;i<=30;i++) m[i]=2*m[i-1]; while (scanf("%d",&n)!=EOF) { cnt=0; memset(vis,0,sizeof(vis));memset(head,0,sizeof(head)); memset(tr,0,sizeof(tr)); for (int i=1;i<n;i++) { int x,y,w; scanf("%d%d%d",&x,&y,&w); x++,y++; //因为节点编号是从0开始,所以全部+1 e[i].to=y;e[i].w=w;e[i].next=head[x];head[x]=i; e[i+n].to=x;e[i+n].w=w;e[i+n].next=head[y];head[y]=i+n; } dfs(1,0); for (int i=1;i<=n;i++) insert(val[i]); int ans=0; for (int i=0;i<=n;i++) { int u=0,x=val[i],s=0; for (int j=30;j>=0;j--) { int k=x&m[j];k>>=j; if (tr[u][k^1]) s+=m[j],u=tr[u][k^1]; else u=tr[u][k]; } ans=max(ans,s); } printf("%d\n",ans); } return 0; }
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