《A First Course in Abstract Algebra with Applications》-chaper1-数论

Posted 2020-08-09 黑大帅之家

  由于笔者在别的专栏多次介绍过数论，这里在《抽象代数基础教程》的专栏下，对于chaper1数论这一章节介绍的方式不那么“入门”。

 

  首先来介绍一个代数中常用也是非常重要的证明方法：数学归纳法。

 

  看这样几个数学现实：

 

                           

  经过辛苦枯燥的计算，对于命题1，n最小的反例是41；对于命题2，n最小的反例是12055735790331359447442538767，数量级是10的二十八次方。

  也就会出现这样一个事实：我们根据经验(我们这里想数学归纳法和自然归纳法混为一谈)，判断每天太阳都是从东方升起的，在航空航天技术没有发展起来，这个命题我们无从证明，只能通过每天的经验来进行归纳总结，地球的年龄的100亿年，大约是一个10的12次方的数量级，也就是说，假设一个人从地球诞生开始计算命题2，以每天2个数据的速度，到现在他掌握的证据比太阳从东方升起的证据还要多，但是，这个命题依然是错误的。因此归纳法或者数学归纳法并不适用一切情况，但这并不影响其在所有证明方法中的重要作用。

 

  这个命题的证明通过最小整数定理能够很容易看到，这些看起来似乎无关紧要而且显然的公理、命题其实有着重要的作用。

 

    这个命题将为素数分解定理(唯一分解定理)的引出奠定基础.