位运算

Posted 2020-08-09 PrayG

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了，就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。比如，and运算本来是一个逻辑运算符，但整数与整数之间也可以进行and运算。举个例子，6的二进制是110，11的二进制是1011，那么6 and 11的结果就是2，它是二进制对应位进行逻辑运算的结果（0表示False，1表示True，空位都当0处理）。

110

AND 1011

---------------

0010 --> 2

有人会说，计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉你，位运算到底可以干什么，有些什么经典应用，以及如何用位运算优化你的程序。

 

下面的a和b都是整数类型，则：

含义	Pascal语言	C语言	Java
按位与	a and b	a & b	a & b
按位或	a or b	a | b	a | b
按位异或	a xor b	a ^ b	a ^ b
按位取反	not a	~a	~a
左移	a shl b	a << b	a << b
带符号右移	a shr b	a >> b	a >> b
无符号右移			a>>> b

运算说明

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=== 1. and运算 & ===

and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

00101

11100

（&；或者and）

----------------

00100

=== 2. or运算 | ===

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

相同位只要一个为1即为1。

00101

11100

（|或者or）

----------------

11101

=== 3. xor运算 ^ ===

异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.

xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

相同位不同则为1，相同则为0。

00101

11100

（^或者xor）

----------------

11001

运算结果

x <- x # y

y <- x @ y

x <- x @ y

执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为（x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。

加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程（Pascal）。

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a + b;

b:=a - b;

a:=a - b;

end;

好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a xor b;

b:=a xor b;

a:=a xor b;

end;

注意：位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。也就是说，如果上述程序的“b”改成“a”的话，其结果是变量a变成零。因此，在使用快速排序时，由于涉及到一个数的自我交换，因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话，应该先判断。具体的时间损耗在此略过。

=== 4. not运算 ~ ===

not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

var

a:word;

begin

a:=100;

a:=not a;

writeln(a);

end.

1 2 3 4 5 6 7 8

#include<stdio.h> int main() {     unsigned short a=100;     a=~a;     printf("%d\n",a);     return 0; }

如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算 << ===

a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 >> ===

和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

 

优先级

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C语言中位运算符之间，按优先级顺序排列为

1	~
2	<<、>>
3	&
4	^
5	|
6	&=、^=、|=、<<=、>>=

 

下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

功能 | 示例 | 位运算

----------------------+---------------------------+--------------------

去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1

在最后加一个0　| (101101->1011010) | x shl 1

在最后加一个1　| (101101->1011011) | x shl 1+1

把最后一位变成1　| (101100->101101) | x or 1

把最后一位变成0　| (101101->101100) | x or 1-1

最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1

把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))

把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))

右数第k位取反　| (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))

取末三位 | (1101101->101) | x and 7

取末k位　| (1101101->1101,k=5) | x and(1 shl k-1)

取右数第k位　| (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1

把末k位变成1　| (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)

末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)

把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)

把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)

把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)

取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1

去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))（或 x and (-x)）

最后这一个在树状数组中会用到。

Pascal和C中的16进制表示

Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。