欧拉函数

Posted 2020-08-08 cdcq（本博客废弃！现用博客：https://www.cn

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欧拉函数phi(x)表示比x小且与x互质的数，这个东西有时候还是挺有用的，尤其是出现等比例关系的时候

一般求phi直接筛

怎么筛呐

需要先了解一些欧拉函数的性质：

1.如果x是质数，phi(x)=x-1

2.phi(x*y)=phi(x)*phi(y)（也就是说phi是个卷积）

证明：1.使用显然法证明：显然  2.我太弱不会，有兴趣的同学可以自行查找相关资料（逃

然后就可以愉快的递推求解了

跟莫比乌斯函数miu很相似，在求phi的时候要顺便把质数给筛出来

然后大概流程就是枚举i，如果i是质数，加入质数表，phi(i)=i-1，否则枚举质数知道质数*i>要求的范围，其中先把i*质数标记不是质数，phi(i*质数)=phi(i)*phi(质数)

这里如果i%质数==0，phi(i*质数)=phi(i)*质数，而且需要brak，证明有点玄，我也只能勉强意会，有兴趣的同学们可以自行推到（逃

这里需要注意，i%质数==0的时候phi(i*质数)=phi(i)*质数，因为phi的积性只有在i和质数互质的时候才成立，至于为什么这里要*质数，请同学们自行推到（逃

代码：

 1 void shai(){
 2     memset(kang,0,sizeof(kang));
 3     phi[1]=1;
 4     for(int i=2;i<=n;i++){
 5         if(!kang[i]){  phi[i]=i-1;  zhi[++ztop]=i;}
 6         for(int j=1;j<=ztop && i*zhi[j]<=n;j++){
 7             kang[i*zhi[j]]=true;
 8             if(i%zhi[j]==0){  phi[i*zhi[j]]=phi[i]*zhi[j];  break;}
 9             phi[i*zhi[j]]=phi[i]*phi[zhi[j]];
10         }
11     }
12 }

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