最大连续子段和的两种线性算法

Posted 2020-08-06

问题描述：给一个数组a1,a2,...,an.求这个数组的最大连续子段和。（非空子段）

 

即，定义S_ij=ai+...+aj，则题目要求的是 max{S_ij}(1<=i<=j<=n)

 

N^3枚举和优化之后的N^2枚举就不说了，还有NlogN的二分算法也不提，想了解的可以看我的另一篇博客：http://www.cnblogs.com/itlqs/p/5097504.html

 

这里主要详解两种O(n)的算法。

 

方法一：动态规划

　　dp[i]表示以第i位为结尾的最大子段和。那么转移方程就是：dp[1]=a[1]，dp[i]=max{dp[i-1]+a[i],a[i]} (i>=2)

　　以第i位为结尾的最大子段和，要么是它接上了前一个的最大子段和，要么就是它自己。

　　最后的结果就是扫一遍dp[1..n]的最大值。

方法二：前缀和

　　前缀和Sn=a1+...+an可以预处理出来。(S₀=0)

　　则S_ij=ai+...+aj=S_j-S_i-1

　　题目要求的实际上就是max{S_ij}=max{S_j-S_i-1}=max{S_j-min{S_i-1}}(1<=i<=j<=n)

　　那么也就是说，对于每一个Sj，我们都要找它前面的最小的一个前缀和减掉，那么这个min{S_i-1}是可以动态维护的，所以O(n)扫一遍结果就出来了。