棋盘覆盖问题

Posted 2020-06-13

 

棋盘覆盖问题   

   问题描述：

      在一个2^k×2^k个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘.显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘.
     下图–图(1)中的特殊棋盘是当k=3时16个特殊棋盘中的一个：

图（1）

      题目要求在棋盘覆盖问题中,要用下图-图(2)所示的4种不同形态的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖.

图（2）

题目包含多组测试数据，输入包含测试数据组数N，下面输入N组数据，每组数据，包括边长m和特殊方格的位置x，y。

input sample

2
2
0 0
8
2 2

output sample

CASE:1
0  1 
1  1 
CASE:2
3  3  4  4  8  8  9  9 
3  2  2  4  8  7  7  9 
5  2  0  6  10 10 7  11
5  5  6  6  1  10 11 11
13 13 14 1  1  18 19 19
13 12 14 14 18 18 17 19
15 12 12 16 20 17 17 21
15 15 16 16 20 20 21 21

如何应用分治法求解棋盘覆盖问题呢？分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格，从而将原问题分解为规 模较小的棋盘覆盖问题。k>0时，可将2^k×2^k的棋盘划分为4个2^（k-1）×2^（k-1）的子棋盘，如图4.11(a)所示。这样划分 后，由于原棋盘只有一个特殊方格，所以，这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊方格，其余3个子棋盘中没有特殊方格。为了将这3个没有特殊方格的子棋盘 转化为特殊棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如图4.11(b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘 覆盖问题。递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int board[1000][1000];
 6 int tile = 1;  //L型骨牌的编号(递增)
 7 /*****************************************************
 8 * 递归方式实现棋盘覆盖算法
 9 * 输入参数：
10 * tr--当前棋盘左上角的行号
11 * tc--当前棋盘左上角的列号
12 * dr--当前特殊方格所在的行号
13 * dc--当前特殊方格所在的列号
14 * size：当前棋盘的:2^k
15 *****************************************************/
16 void chessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
17 {
18     if ( size==1 )    //棋盘方格大小为1,说明递归到最里层
19         return;
20     int t=tile++;     //每次递增1
21     int s=size/2;    //棋盘中间的行、列号(相等的)
22     //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中
23     if ( dr<tr+s && dc<tc+s )              //在
24         chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s );
25     else         //不在，将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块
26     {
27         board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
28         chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s );
29     }
30     //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中
31     if ( dr<tr+s && dc>=tc+s )               //在
32         chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s );
33     else          //不在，将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块
34     {
35         board[tr+s-1][tc+s]=t;
36         chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s );
37     }
38     //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中
39     if ( dr>=tr+s && dc<tc+s )              //在
40         chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s );
41     else            //不在，将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块
42     {
43         board[tr+s][tc+s-1]=t;
44         chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s );
45     }
46     //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中
47     if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s )                //在
48         chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s );
49     else         //不在，将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块
50     {
51         board[tr+s][tc+s]=t;
52         chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s );
53     }
54 }
55 void printMatrix(int n)
56 {
57     for(int i = 0; i < n; i++)
58         for(int j = 0; j < n; j++)
59     {
60         printf("%3d",board[i][j]);
61         if(j == n-1)
62             printf("\n");
63     }
64 }
65 int main()
66 {
67     int N;
68     while(cin >> N)
69     {
70         int n,r,c;
71         cin >> n;  //输入棋盘的大小(大小必须是2的n次幂)
72         cin >> r >> c; //特殊方格位置的坐标
73         chessBoard(0,0,r,c,n);
74         printMatrix(n);
75 
76     }
77     return 0;
78 }