棋盘覆盖

Posted 2020-09-08 王勋广

【题目】

2^k*2^k个方格的一个棋盘，有一个方格残缺；
要求：
用三格板覆盖棋盘，
三格板不重叠，
不覆盖残缺方格，
覆盖所有其它方格。

【算法】

当 k>0 时，将2k*2k棋盘分割为 4 个 2k-1*2k-1子棋盘 ；
特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格；
为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个三格板覆盖这 3 个较小棋盘的会合处，从而将原问题转化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘 1×1 。

【代码】

#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

int board[64][64], size, tile = 1;

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    if (size == 1) return;
    int t = tile++,  // L型骨牌号
        s = size / 2;  // 分割棋盘
                       // 覆盖左上角子棋盘
    if (dr < tr + s && dc < tc + s)
        // 特殊方格在此棋盘中
        chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
    else {// 此棋盘中无特殊方格
          // 用 t 号L型骨牌覆盖右下角
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        // 覆盖其余方格
        chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
    }
    // 覆盖右上角子棋盘
    if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
        // 特殊方格在此棋盘中
        chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    else {// 此棋盘中无特殊方格
          // 用 t 号L型骨牌覆盖左下角
        board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        // 覆盖其余方格
        chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
    }
    // 覆盖左下角子棋盘
    if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
        // 特殊方格在此棋盘中
        chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    else {// 用 t 号L型骨牌覆盖右上角
        board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        // 覆盖其余方格
        chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
    }
    // 覆盖右下角子棋盘
    if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
        // 特殊方格在此棋盘中
        chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    else {// 用 t 号L型骨牌覆盖左上角
        board[tr + s][tc + s] = t;
        // 覆盖其余方格
        chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
}

void OutputBoard(int size)
{
   for (int i = 0; i < size; i++)
   {
         for (int j = 0; j < size; j++)
              cout << setw (5) << board[i][j];
         cout << endl;
      }
}

    

int main() {
    chessBoard(0,0,0,1,4);
    OutputBoard(4);

    return 0;
}

【时间复杂度】